已知 $x > 0$，$y > 0$，$x + 2y + 2xy = 8$，则 $x + 2y$ 的最小值是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 由题设，$(x+1)(2y+1)=x+2y+2xy+1=9$. 因为 $x>0$，$y>0$，所以 $x+1>0$，$2y+1>0$. 由基本不等式，$x+1+2y+1\geqslant2\sqrt{(x+1)(2y+1)}=6$，故 $x+2y\geqslant4$. 当 $x+1=2y+1=3$，即 $x=2$，$y=1$ 时等号成立，所以最小值为 $4$，选 B. \end{solution}

已知以 $F$ 为焦点的抛物线 $y^{2} = 4x$ 上的两点 $A$，$B$ 满足 $\overrightarrow{AF} = 3\overrightarrow{FB}$，则弦 $AB$ 的中点到准线的距离为______.

\begin{answer} $\frac{8}{3}$ \end{answer}

\begin{solution} 抛物线 $y^2=4x$ 可写成 $y^2=4px$，故 $p=1$，焦点为 $F(1,0)$，准线为 $x=-1$.

设 $A\left(\frac{u^2}{4},u\right)$，$B\left(\frac{v^2}{4},v\right)$. 由 $\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，比较纵坐标得 比较横坐标得 代入 $u=-3v$，得 所以 $x_A=\frac{u^2}{4}=3$，$x_B=\frac{v^2}{4}=\frac13$. 弦 $AB$ 的中点横坐标为 因此中点到准线 $x=-1$ 的距离为 \end{solution}

设函数 $f(x) = \cos \left(x + \frac{2\pi}{3}\right) + 2\cos^2 \frac{x}{2}$，$x \in \mathbf{R}$.

(1) 求 $f(x)$ 的值域； (2) 记 $\triangle ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 的对边长分别为 $a$，$b$，$c$. 若 $f(B) = 1$，$b = 1$，$c = \sqrt{3}$，求 $a$ 的值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 $2\cos^2\frac{x}{2}=1+\cos x$，得 $f(x)=1+\cos x+\cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=1+\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=1+\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$. 因此 $0\leqslant f(x)\leqslant2$，值域为 $[0,2]$. \item 由 $f(B)=1$ 得 $\cos\left(B+\frac{\pi}{3}\right)=0$，所以 $B=\frac{\pi}{6}+k\pi$. 因为 $0<B<\pi$，故 $B=\frac{\pi}{6}$. 在 $\triangle ABC$ 中，由余弦定理，$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$，即 $1=a^2+3-2a\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=a^2-3a+3$，从而 $a^2-3a+2=0$，解得 $a=1$ 或 $a=2$. 两者均满足 $|\sqrt{3}-1|<a<\sqrt{3}+1$，故 $a=1$ 或 $a=2$. \end{enumerate} \end{solution}

在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为 $1$，$2$，$\cdots$，$6$），求：

(1) 甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (2) 甲、乙两单位之间的演出单位个数 $\xi$ 的分布列与期望.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 甲、乙两单位的演出序号是从 $1$，$2$，$\ldots$，$6$ 中随机取出的两个不同序号. 两序号都为偶数的概率为 $\frac{\mathrm C_3^2}{\mathrm C_6^2}=\frac{1}{5}$，所以至少有一个为奇数的概率为 $1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$. \item 两单位的演出序号之差为 $d$ 时，满足条件的无序位置对有 $6-d$ 个，全部无序位置对有 $\mathrm C_6^2=15$ 个. 由于 $\xi=d-1$，所以 $\xi$ 的分布列为 \begin{center} \begin{tabular}{c|ccccc} $\xi$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ \ \hline $P$ & $\frac{5}{15}$ & $\frac{4}{15}$ & $\frac{3}{15}$ & $\frac{2}{15}$ & $\frac{1}{15}$ \end{tabular} \end{center} 从而 $E(\xi)=0\cdot\frac{5}{15}+1\cdot\frac{4}{15}+2\cdot\frac{3}{15}+3\cdot\frac{2}{15}+4\cdot\frac{1}{15}=\frac{4}{3}$. \end{enumerate} \end{solution}

已知函数 $f(x) = \frac{x - 1}{x + a} + \ln\left(x + 1\right)$，其中实数 $a \neq 1$.

(1) 若 $a = 2$，求曲线 $y = f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程； (2) 若 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处取得极值，试讨论 $f(x)$ 的单调性.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 $a=2$ 时，$f(0)=-\frac{1}{2}$，且 $f'(x)=\frac{3}{(x+2)^2}+\frac{1}{x+1}$，所以 $f'(0)=\frac{7}{4}$. 因此曲线在 $(0,f(0))=\left(0,-\frac{1}{2}\right)$ 处的切线方程为 $y+\frac{1}{2}=\frac{7}{4}x$，即 $y=\frac{7}{4}x-\frac{1}{2}$. \item 因为函数在 $x=1$ 处取得极值，且 $x=1$ 必须属于定义域，所以 $a\neq-1$. 又 $f'(1)=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{2}=0$，解得 $a=-3$. 此时定义域为 $(-1,3)\cup(3,+\infty)$，并且 由于定义域内分母为正，故 $f'(x)>0$ 在 $(-1,1)$ 和 $(7,+\infty)$ 上成立，$f'(x)<0$ 在 $(1,3)$ 和 $(3,7)$ 上成立. 因此 $f(x)$ 在 $(-1,1)$、$(7,+\infty)$ 上单调递增，在 $(1,3)$、$(3,7)$ 上单调递减. \end{enumerate} \end{solution}

如图，四棱锥 $P - ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形，$PA \perp$ 底面 $ABCD$，$PA = AB = \sqrt{6}$，点 $E$ 是棱 $PB$ 的中点.

(1) 求直线 AD 与平面 PBC 的距离； (2) 若 $AD = \sqrt{3}$，求二面角 $A - EC - D$ 的平面角的余弦值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 建立如图所示的直角坐标系，设 $s=\sqrt{6}$，$AD=d$，取 $A(0,0,0)$，$B(s,0,0)$，$D(0,d,0)$，$C(s,d,0)$，$P(0,0,s)$. 由 $E$ 为 $PB$ 的中点，得 $E\left(\frac{s}{2},0,\frac{s}{2}\right)$. 平面 $PBC$ 的方程为 $x+z=s$，直线 $AD$ 的方向为 $y$ 轴方向，且与平面 $PBC$ 平行. 因此直线 $AD$ 到平面 $PBC$ 的距离为 $\frac{s}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$. \item 当 $d=\sqrt{3}$ 时，取平面 $AEC$ 的两个方向向量 $\overrightarrow{AC}=(s,d,0)$、$\overrightarrow{AE}=\left(\frac{s}{2},0,\frac{s}{2}\right)$，取平面 $DEC$ 的两个方向向量 $\overrightarrow{DC}=(s,0,0)$、$\overrightarrow{DE}=\left(\frac{s}{2},-d,\frac{s}{2}\right)$. 相应法向量可取 $\boldsymbol{n}_1=(ds,-s^2,-ds)$、$\boldsymbol{n}_2=(0,-s^2,-2ds)$. 代入 $s=\sqrt{6}$、$d=\sqrt{3}$，得 $\boldsymbol{n}_1=(3\sqrt{2},-6,-3\sqrt{2})$、$\boldsymbol{n}_2=(0,-6,-6\sqrt{2})$. 所以二面角的平面角 $\alpha$ 满足 $\cos\alpha=\frac{|\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}=\frac{72}{\sqrt{72}\sqrt{108}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$. \end{enumerate} \end{solution}