关于 $x$ 的实系数一元二次方程 $x^2 + px + 2 = 0$ 的两个虚数根为 $z_1$， $z_2$，若 $z_1$， $z_2$ 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为______.

\begin{answer} $2\sqrt2$ \end{answer}

\begin{solution} 因为方程系数为实数且两根为非实根，所以两根互为共轭，可设 $z_1=u+v\mathrm{i}$、$z_2=u-v\mathrm{i}$，其中 $v\neq0$. 由韦达定理 $z_1z_2=2$，得 $u^2+v^2=2$.

椭圆的两个焦点为这两个点，原点在椭圆上，所以原点到两个焦点的距离之和等于长轴长 $2a$. 两个距离都等于 $\sqrt{u^2+v^2}=\sqrt2$，故 $2a=2\sqrt2$. 因此该椭圆的长轴长为 $2\sqrt2$. \end{solution}