某船在海平面 $A$ 处测得灯塔 $B$ 在北偏东 $30^{\circ}$ 方向，与 $A$ 相距 $6.0\text{ 海里}$. 船由 $A$ 向正北方向航行 $8.1\text{ 海里}$ 到达 $C$ 处，这时灯塔 $B$ 与船相距多少海里（精确到 $0.1\text{ 海里}$ ）？$B$ 在船的什么方向（精确到 $1^{\circ}$）？

\begin{solution} 以 $A$ 为原点，正东方向为横轴正向，正北方向为纵轴正向. 由 $AB=6.0$ 海里且 $B$ 在北偏东 $30^{\circ}$ 方向，得 $B$ 的坐标为 $\left(6\sin30^{\circ},6\cos30^{\circ}\right)=\left(3,3\sqrt3\right)$. 船向正北航行 $8.1$ 海里，所以 $C=(0,8.1)$.

因此 $\overrightarrow{CB}=\left(3,3\sqrt3-8.1\right)$，从而 精确到 $0.1$ 海里为 $4.2$ 海里.

由于 $3\sqrt3<8.1$，点 $B$ 位于点 $C$ 的东南方向. 设 $\alpha$ 为南偏东的角，则 $\tan\alpha=\frac{3}{8.1-3\sqrt3}$，所以 $\alpha\approx45.96^{\circ}$. 精确到 $1^{\circ}$，得 $B$ 在船的南偏东 $46^{\circ}$ 方向. \end{solution}