已知圆心为 $O$，半径为 $1$ 的圆上有三点 $A$， $B$， $C$，若 $7\overrightarrow{OA} + 5\overrightarrow{OB} + 8\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$，则 $\left|\overrightarrow{BC}\right|=$______.

\begin{answer} $\sqrt3$ \end{answer}

\begin{solution} 记 $\boldsymbol{a}=\overrightarrow{OA}$、$\boldsymbol{b}=\overrightarrow{OB}$、$\boldsymbol{c}=\overrightarrow{OC}$. 因为三点在单位圆上，所以 $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{c}|=1$. 由 $7\boldsymbol{a}+5\boldsymbol{b}+8\boldsymbol{c}=\boldsymbol{0}$，得 $7\boldsymbol{a}=-(5\boldsymbol{b}+8\boldsymbol{c})$. 两边平方，得 所以 $\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=-\frac12$. 于是 因此 $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt3$. \end{solution}