是否存在常数 $a$，$b$，$c$ 使得等式 $1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 3^2 + \cdots + n(n + 1)^2 = \frac{n(n + 1)}{12}(an^2 + bn + c)$ 对一切自然数 $n$ 都成立？并证明你的结论.