如图，直三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 的底面是边长为 $2$ 的正三角形，$E$，$F$ 分别是 $BC$，$CC_{1}$ 的中点.

(1) 证明：平面 $AEF \perp$ 平面 $B_{1}BCC_{1}$； (2) 若直线 $A_{1}C$ 与平面 $A_{1}ABB_{1}$ 所成的角为 $45^{\circ}$，求三棱锥 $F\text{-}AEC$ 的体积.