在一场娱乐晚会上，有 $5$ 位民间歌手（$1$ 至 $5$ 号）登台演唱. 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选 $3$ 名歌手，其中观众甲是 $1$ 号歌手的歌迷，他必选 $1$ 号，不选 $2$ 号，另在 $3$ 至 $5$ 号中随机选 $2$ 名. 观众乙和丙对 $5$ 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 $1$ 至 $5$ 号中随机选 $3$ 名歌手.

(1) 求观众甲选中 $3$ 号歌手且观众乙未选中 $3$ 号歌手的概率； (2) $X$ 表示 $3$ 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求 $X$ 的分布列和数学期望.