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27
数列
★★★☆☆
用数学归纳法证明：
1
2
+
3
2
+
5
2
+
⋯
+
(
2
n
−
1
)
2
=
1
3
n
(
4
n
2
−
1
)
1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2n-1)^{2}=\frac{1}{3}n(4n^{2}-1)
1
2
+
3
2
+
5
2
+
⋯
+
(
2
n
−
1
)
2
=
3
1
n
(
4
n
2
−
1
)
（
n
n
n
为自然数）.
\begin{solution} 设命题
P
(
n
)
P(n)
P
(
n
)
为
1
2
+
3
2
+
5
2
+
⋯
+
(
2
n
−
1
)
2
=
1
3
n
(
4
n
2
−
1
)
1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2n-1)^{2}=\frac13n(4n^{2}-1)
1
2
+
3
2
+
5
2
+
⋯
+
(
2
n
−
1
)
2
=
3
1
n
(
4
n
2
−
1
)
. 当
n
=
1
n=1
n
=
1
时，左边为
1
1
1
，右边为
1
3
(
4
−
1
)
=
1
\frac13(4-1)=1
3
1
(
4
−
1
)
=
1
，所以
P
(
1
)
P(1)
P
(
1
)
成立.
假设
k
⩾
1
k\geqslant1
k
⩾
1
时
P
(
k
)
P(k)
P
(
k
)
成立，即
1
2
+
3
2
+
5
2
+
⋯
+
(
2
k
−
1
)
2
=
1
3
k
(
4
k
2
−
1
)
1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2k-1)^{2}=\frac13k(4k^{2}-1)
1
2
+
3
2
+
5
2
+
⋯
+
(
2
k
−
1
)
2
=
3
1
k
(
4
k
2
−
1
)
. 则当
n
=
k
+
1
n=k+1
n
=
k
+
1
时，
1
2
+
3
2
+
5
2
+
⋯
+
(
2
k
−
1
)
2
+
(
2
k
+
1
)
2
=
1
3
k
(
4
k
2
−
1
)
+
(
2
k
+
1
)
2
=
1
3
k
(
2
k
+
1
)
(
2
k
−
1
)
+
(
2
k
+
1
)
2
1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2k-1)^{2}+(2k+1)^{2} = \frac13k(4k^{2}-1)+(2k+1)^{2} = \frac13k(2k+1)(2k-1)+(2k+1)^{2}
1
2
+
3
2
+
5
2
+
⋯
+
(
2
k
−
1
)
2
+
(
2
k
+
1
)
2
=
3
1
k
(
4
k
2
−
1
)
+
(
2
k
+
1
)
2
=
3
1
k
(
2
k
+
1
)
(
2
k
−
1
)
+
(
2
k
+
1
)
2
于是
1
3
k
(
2
k
+
1
)
(
2
k
−
1
)
+
(
2
k
+
1
)
2
=
1
3
(
2
k
+
1
)
(
2
k
2
+
5
k
+
3
)
=
1
3
(
2
k
+
1
)
(
k
+
1
)
(
2
k
+
3
)
\frac13k(2k+1)(2k-1)+(2k+1)^{2} = \frac13(2k+1)(2k^{2}+5k+3) = \frac13(2k+1)(k+1)(2k+3)
3
1
k
(
2
k
+
1
)
(
2
k
−
1
)
+
(
2
k
+
1
)
2
=
3
1
(
2
k
+
1
)
(
2
k
2
+
5
k
+
3
)
=
3
1
(
2
k
+
1
)
(
k
+
1
)
(
2
k
+
3
)
再由
1
3
(
2
k
+
1
)
(
k
+
1
)
(
2
k
+
3
)
=
1
3
(
k
+
1
)
[
4
(
k
+
1
)
2
−
1
]
\frac13(2k+1)(k+1)(2k+3) = \frac13(k+1)\left[4(k+1)^{2}-1\right]
3
1
(
2
k
+
1
)
(
k
+
1
)
(
2
k
+
3
)
=
3
1
(
k
+
1
)
[
4
(
k
+
1
)
2
−
1
]
所以
P
(
k
+
1
)
P(k+1)
P
(
k
+
1
)
也成立. 根据数学归纳法，原等式对所有自然数
n
n
n
都成立. \end{solution}
1985 · 广东 · 文 · 第 27 题 · 解答题
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