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26三角函数★★★☆☆
证明 tan⁡(α+β)−tan⁡α1+tan⁡βtan⁡(α+β)=sin⁡2β2cos⁡2α\frac{\tan(\alpha + \beta) - \tan\alpha}{1 + \tan\beta\tan(\alpha + \beta)} = \frac{\sin 2\beta}{2\cos^2\alpha}.
\begin{solution} 在各式有意义且原分式分母不为零的范围内，利用正切加法公式，
tan⁡(α+β)−tan⁡α1+tan⁡βtan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β−tan⁡α1+tan⁡βtan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β=tan⁡β(1+tan⁡2α)1+tan⁡2β=sin⁡βcos⁡β⋅1cos⁡2α1cos⁡2β,=sin⁡βcos⁡βcos⁡2α=sin⁡2β2cos⁡2α.\begin{gathered} \frac{\tan(\alpha + \beta) - \tan\alpha}{1 + \tan\beta\tan(\alpha + \beta)} = \frac{\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}-\tan\alpha}{1+\tan\beta\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}}\\ = \frac{\tan\beta(1+\tan^{2}\alpha)}{1+\tan^{2}\beta} = \frac{\frac{\sin\beta}{\cos\beta}\cdot\frac{1}{\cos^{2}\alpha}}{\frac{1}{\cos^{2}\beta}},\\ = \frac{\sin\beta\cos\beta}{\cos^{2}\alpha} = \frac{\sin 2\beta}{2\cos^{2}\alpha}. \end{gathered}
\end{solution}

1985 · 广东 · 文 · 第 26 题 · 解答题

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