设 $a > 0$，$f(x) = ax^2 + bx + c$. 曲线 $y = f(x)$ 在点 $P(x_0, f(x_0))$ 处切线的倾斜角的取值范围为 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$，则 $P$ 到曲线 $y = f(x)$ 对称轴距离的取值范围为（ ）

设 $a > 0$，求函数 $f(x) = \sqrt{x} - \ln (x + a)$，$x \in (0, +\infty)$ 的单调区间.