已知函数 $f(x) = \sin (\omega x + \varphi)$（$\omega > 0$，$0 \leqslant \varphi \leqslant \pi$）是 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，其图象关于点 $M\left(\frac{3\pi}{4}, 0\right)$ 对称，且在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上是单调函数. 求 $\omega$ 和 $\varphi$ 的值.