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05解析几何★★★☆☆
双曲线虚轴的一个端点为 MM，两个焦点为 F1F_1，F2F_2，∠F1MF2=120∘\angle F_1MF_2=120^{\circ}，则双曲线的离心率为（ ）
\begin{solution} 设双曲线的实半轴长、虚半轴长和焦半距分别为 aa，bb，cc，则 c2=a2+b2c^2=a^2+b^2. 由于 MM 是虚轴端点，所以 MF1=MF2=b2+c2MF_1=MF_2=\sqrt{b^2+c^2}，F1F2=2cF_1F_2=2c. 在三角形 F1MF2F_1MF_2 中，由余弦定理得
4c2=2(b2+c2)−2(b2+c2)cos⁡120∘=3(b2+c2)4c^2=2\left(b^2+c^2\right)-2\left(b^2+c^2\right)\cos120^{\circ} =3\left(b^2+c^2\right)
于是 c2=3b2c^2=3b^2，从而 a2=c2−b2=2b2a^2=c^2-b^2=2b^2. 因此双曲线的离心率为
e=ca=3b2b=62e=\frac ca=\frac{\sqrt3b}{\sqrt2b}=\frac{\sqrt6}{2}
故选 B. \end{solution}
A.
3\sqrt3
B.
62\frac{\sqrt6}{2}
C.
63\frac{\sqrt6}{3}
D.
33\frac{\sqrt3}{3}

2003 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★☆☆
已知圆锥的底面半径为 RR，高为 3R3R，它的内接圆柱的底面半径为 34R\frac34R，该圆柱的全面积为（ ）
\begin{solution} 设内接圆柱的高为 hh. 以圆锥底面为基准，在距圆锥底面 hh 的位置，圆锥截面的半径为
R(1−h3R)R\left(1-\frac{h}{3R}\right)
该截面是圆柱的上底面，所以
R(1−h3R)=34RR\left(1-\frac{h}{3R}\right)=\frac34R
解得 h=34Rh=\frac34R. 因而圆柱的全面积为
2π(34R)2+2π(34R)h=94πR22\pi\left(\frac34R\right)^2+2\pi\left(\frac34R\right)h =\frac94\pi R^2
故选 B. \end{solution}
A.
2πR22\pi R^2
B.
94πR2\frac94\pi R^2
C.
83πR2\frac83\pi R^2
D.
52πR2\frac52\pi R^2

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17立体几何初步★★★☆☆
已知正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1，AB=1AB=1，AA1=2AA_1=2，EE 为 CC1CC_1 中点，FF 为 BD1BD_1 中点.
(1) 证明：EFEF 为 BD1BD_1 与 CC1CC_1 的公垂线； (2) 求点 D1D_1 到面 BDEBDE 的距离.
\begin{solution} 建立空间直角坐标系，取 AA 为原点，令 ABAB，ADAD，AA1AA_1 分别为三个坐标轴的正方向，则 A=(0,0,0)A=(0,0,0)，B=(1,0,0)B=(1,0,0)，C=(1,1,0)C=(1,1,0)，D=(0,1,0)D=(0,1,0)，A1=(0,0,2)A_1=(0,0,2)，B1=(1,0,2)B_1=(1,0,2)，C1=(1,1,2)C_1=(1,1,2)，D1=(0,1,2)D_1=(0,1,2). 由中点坐标公式，得 E=(1,1,1)E=(1,1,1)，F=(12,12,1)F=\left(\frac12,\frac12,1\right).
\begin{enumerate} \item 直线 BD1BD_1 的一个方向向量为 (−1,1,2)(-1,1,2)，直线 CC1CC_1 的一个方向向量为 (0,0,2)(0,0,2)，而
EF→=(−12,−12,0)\overrightarrow{EF}=\left(-\frac12,-\frac12,0\right)
于是 EF→⋅(−1,1,2)=0\overrightarrow{EF}\cdot(-1,1,2)=0，EF→⋅(0,0,2)=0\overrightarrow{EF}\cdot(0,0,2)=0. 又因为 F∈BD1F\in BD_1，E∈CC1E\in CC_1，所以 EFEF 分别垂直于 BD1BD_1 和 CC1CC_1，并且与这两条直线相交，故 EFEF 是 BD1BD_1 与 CC1CC_1 的公垂线.
\item 平面 BDEBDE 内有两个不共线向量 BD→=(−1,1,0)\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)，BE→=(0,1,1)\overrightarrow{BE}=(0,1,1). 取它们的向量积，得平面 BDEBDE 的一个法向量
BD→×BE→=(1,1,−1)\overrightarrow{BD}\times\overrightarrow{BE}=(1,1,-1)
所以平面 BDEBDE 的方程为
x+y−z−1=0x+y-z-1=0
点 D1=(0,1,2)D_1=(0,1,2) 到平面 BDEBDE 的距离为
∣0+1−2−1∣12+12+(−1)2=23=233\frac{|0+1-2-1|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}} =\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}
\end{enumerate} \end{solution}

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18复数★★★☆☆
已知复数 zz 的辐角为 60∘60^{\circ}，且 ∣z−1∣|z-1| 是 ∣z∣|z| 和 ∣z−2∣|z-2| 的等比中项，求 ∣z∣|z|. \begin{solution} 设 r=∣z∣r=|z|. 因为 zz 的辐角为 60∘60^{\circ}，所以 r>0r>0，且
z=r(cos⁡60∘+isin⁡60∘)z=r\left(\cos60^{\circ}+\mathrm{i}\sin60^{\circ}\right)
由复数模的平方公式，得
∣z−1∣2=r2−2rcos⁡60∘+1=r2−r+1|z-1|^2=r^2-2r\cos60^{\circ}+1=r^2-r+1
∣z−2∣2=r2−4rcos⁡60∘+4=r2−2r+4|z-2|^2=r^2-4r\cos60^{\circ}+4=r^2-2r+4
由等比中项的定义，
∣z−1∣2=∣z∣∣z−2∣=r∣z−2∣|z-1|^2=|z||z-2|=r|z-2|
两边均非负，平方后仍然等价，得
(r2−r+1)2=r2(r2−2r+4)\left(r^2-r+1\right)^2=r^2\left(r^2-2r+4\right)
展开并消去两边的 r4−2r3r^4-2r^3，得
r2+2r−1=0r^2+2r-1=0
解得 r=−1±2r=-1\pm\sqrt2. 由于 r>0r>0，所以
∣z∣=r=2−1|z|=r=\sqrt2-1
\end{solution}

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20三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x(sin⁡x+cos⁡x)f(x)=2\sin x(\sin x+\cos x).
(1) 求函数 f(x)f(x) 的最小正周期和最大值； (2) 在给出的直角坐标系中，画出函数 y=f(x)y=f(x) 在区间 [−π2,π2]\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right] 上的图象.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由二倍角公式，
f(x)=2sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=1−cos⁡2x+sin⁡2x=1+2sin⁡(2x−π4)f(x)=2\sin^2x+2\sin x\cos x=1-\cos2x+\sin2x =1+\sqrt2\sin\left(2x-\frac\pi4\right)
因此函数的最小正周期为
T=2π2=πT=\frac{2\pi}{2}=\pi
且因为正弦函数的最大值为 11，所以 f(x)f(x) 的最大值为 1+21+\sqrt2.
\item 直接代入可得 f(−π2)=2f\left(-\frac\pi2\right)=2，f(−π4)=0f\left(-\frac\pi4\right)=0，f(−π8)=1−2f\left(-\frac\pi8\right)=1-\sqrt2，f(0)=0f(0)=0，f(π4)=2f\left(\frac\pi4\right)=2，f(3π8)=1+2f\left(\frac{3\pi}{8}\right)=1+\sqrt2，f(π2)=2f\left(\frac\pi2\right)=2. 因而函数图象经过点 (−π2,2)\left(-\frac\pi2,2\right)，(−π4,0)\left(-\frac\pi4,0\right)，(−π8,1−2)\left(-\frac\pi8,1-\sqrt2\right)，(0,0)(0,0)，(π4,2)\left(\frac\pi4,2\right)，(3π8,1+2)\left(\frac{3\pi}{8},1+\sqrt2\right)，(π2,2)\left(\frac\pi2,2\right). 又
f′(x)=2cos⁡2x+2sin⁡2x=22cos⁡(2x−π4)f'(x)=2\cos2x+2\sin2x=2\sqrt2\cos\left(2x-\frac\pi4\right)
在给定区间内，导数在 [−π2,−π8]\left[-\frac\pi2,-\frac\pi8\right] 上小于等于 00，在 [−π8,3π8]\left[-\frac\pi8,\frac{3\pi}{8}\right] 上大于等于 00，在 [3π8,π2]\left[\frac{3\pi}{8},\frac\pi2\right] 上小于等于 00. 所以函数先递减、再递增、后递减；在坐标系中标出上述各点并按此单调性用光滑曲线连接，即得所求图象. \end{enumerate} \end{solution}

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