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18复数★★★☆☆
已知复数 zz 的辐角为 60∘60^{\circ}，且 ∣z−1∣|z-1| 是 ∣z∣|z| 和 ∣z−2∣|z-2| 的等比中项，求 ∣z∣|z|. \begin{solution} 设 r=∣z∣r=|z|. 因为 zz 的辐角为 60∘60^{\circ}，所以 r>0r>0，且
z=r(cos⁡60∘+isin⁡60∘)z=r\left(\cos60^{\circ}+\mathrm{i}\sin60^{\circ}\right)
由复数模的平方公式，得
∣z−1∣2=r2−2rcos⁡60∘+1=r2−r+1|z-1|^2=r^2-2r\cos60^{\circ}+1=r^2-r+1
∣z−2∣2=r2−4rcos⁡60∘+4=r2−2r+4|z-2|^2=r^2-4r\cos60^{\circ}+4=r^2-2r+4
由等比中项的定义，
∣z−1∣2=∣z∣∣z−2∣=r∣z−2∣|z-1|^2=|z||z-2|=r|z-2|
两边均非负，平方后仍然等价，得
(r2−r+1)2=r2(r2−2r+4)\left(r^2-r+1\right)^2=r^2\left(r^2-2r+4\right)
展开并消去两边的 r4−2r3r^4-2r^3，得
r2+2r−1=0r^2+2r-1=0
解得 r=−1±2r=-1\pm\sqrt2. 由于 r>0r>0，所以
∣z∣=r=2−1|z|=r=\sqrt2-1
\end{solution}

2003 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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