已知圆锥的底面半径为 $R$，高为 $3R$，它的内接圆柱的底面半径为 $\frac34R$，该圆柱的全面积为（ ）

\begin{solution} 设内接圆柱的高为 $h$. 以圆锥底面为基准，在距圆锥底面 $h$ 的位置，圆锥截面的半径为 该截面是圆柱的上底面，所以 解得 $h=\frac34R$. 因而圆柱的全面积为 故选 B. \end{solution}

已知正四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$，$AB=1$，$AA_1=2$，$E$ 为 $CC_1$ 中点，$F$ 为 $BD_1$ 中点.

(1) 证明：$EF$ 为 $BD_1$ 与 $CC_1$ 的公垂线； (2) 求点 $D_1$ 到面 $BDE$ 的距离.

\begin{solution} 建立空间直角坐标系，取 $A$ 为原点，令 $AB$，$AD$，$AA_1$ 分别为三个坐标轴的正方向，则 $A=(0,0,0)$，$B=(1,0,0)$，$C=(1,1,0)$，$D=(0,1,0)$，$A_1=(0,0,2)$，$B_1=(1,0,2)$，$C_1=(1,1,2)$，$D_1=(0,1,2)$. 由中点坐标公式，得 $E=(1,1,1)$，$F=\left(\frac12,\frac12,1\right)$.

\begin{enumerate} \item 直线 $BD_1$ 的一个方向向量为 $(-1,1,2)$，直线 $CC_1$ 的一个方向向量为 $(0,0,2)$，而 于是 $\overrightarrow{EF}\cdot(-1,1,2)=0$，$\overrightarrow{EF}\cdot(0,0,2)=0$. 又因为 $F\in BD_1$，$E\in CC_1$，所以 $EF$ 分别垂直于 $BD_1$ 和 $CC_1$，并且与这两条直线相交，故 $EF$ 是 $BD_1$ 与 $CC_1$ 的公垂线.

\item 平面 $BDE$ 内有两个不共线向量 $\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)$，$\overrightarrow{BE}=(0,1,1)$. 取它们的向量积，得平面 $BDE$ 的一个法向量 所以平面 $BDE$ 的方程为 点 $D_1=(0,1,2)$ 到平面 $BDE$ 的距离为 \end{enumerate} \end{solution}