双曲线虚轴的一个端点为 $M$，两个焦点为 $F_1$，$F_2$，$\angle F_1MF_2=120^{\circ}$，则双曲线的离心率为（ ）

\begin{solution} 设双曲线的实半轴长、虚半轴长和焦半距分别为 $a$，$b$，$c$，则 $c^2=a^2+b^2$. 由于 $M$ 是虚轴端点，所以 $MF_1=MF_2=\sqrt{b^2+c^2}$，$F_1F_2=2c$. 在三角形 $F_1MF_2$ 中，由余弦定理得 于是 $c^2=3b^2$，从而 $a^2=c^2-b^2=2b^2$. 因此双曲线的离心率为 故选 B. \end{solution}

已知函数 $f(x)=2\sin x(\sin x+\cos x)$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期和最大值； (2) 在给出的直角坐标系中，画出函数 $y=f(x)$ 在区间 $\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ 上的图象.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由二倍角公式， 因此函数的最小正周期为 且因为正弦函数的最大值为 $1$，所以 $f(x)$ 的最大值为 $1+\sqrt2$.

\item 直接代入可得 $f\left(-\frac\pi2\right)=2$，$f\left(-\frac\pi4\right)=0$，$f\left(-\frac\pi8\right)=1-\sqrt2$，$f(0)=0$，$f\left(\frac\pi4\right)=2$，$f\left(\frac{3\pi}{8}\right)=1+\sqrt2$，$f\left(\frac\pi2\right)=2$. 因而函数图象经过点 $\left(-\frac\pi2,2\right)$，$\left(-\frac\pi4,0\right)$，$\left(-\frac\pi8,1-\sqrt2\right)$，$(0,0)$，$\left(\frac\pi4,2\right)$，$\left(\frac{3\pi}{8},1+\sqrt2\right)$，$\left(\frac\pi2,2\right)$. 又 在给定区间内，导数在 $\left[-\frac\pi2,-\frac\pi8\right]$ 上小于等于 $0$，在 $\left[-\frac\pi8,\frac{3\pi}{8}\right]$ 上大于等于 $0$，在 $\left[\frac{3\pi}{8},\frac\pi2\right]$ 上小于等于 $0$. 所以函数先递减、再递增、后递减；在坐标系中标出上述各点并按此单调性用光滑曲线连接，即得所求图象. \end{enumerate} \end{solution}