若曲线 $C_{1}: x^{2} + y^{2} - 2x = 0$ 与曲线 $C_{2}: y (y - mx - m) = 0$ 有四个不同的交点，则实数 $m$ 的取值范围是（ ）

若椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的焦点在 $x$ 轴上，过点 $\left(1, \frac{1}{2}\right)$ 作圆 $x^2 + y^2 = 1$ 的切线. 切点分别为 $A$，$B$，直线 $AB$ 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是______.