求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题. 例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为 $4$，侧棱长为 $3$，求该正四棱锥的体积”. 求出体积 $\frac{16}{3}$ 后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为 $4$，体积为 $\frac{16}{3}$，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为 $\frac{16}{3}$，求所有侧面面积之和的最小值”. 试给出问题“在平面直角坐标系 $xOy$ 中，求点 $P(2,1)$ 到直线 $3x+4y=0$ 的距离.”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.

如图，在直角坐标系 $xOy$ 中，设椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左右两个焦点分别为 $F_1$，$F_2$. 过右焦点 $F_2$ 且与 $x$ 轴垂直的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交，其中一个交点为 $M(\sqrt{2},1)$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 设椭圆 $C$ 的一个顶点为 $B(0,-b)$，直线 $BF_2$ 交椭圆 $C$ 于另一点 $N$，求 $\triangle F_1BN$ 的面积.