设 $A(x_{1},y_{1})$，$B\left(4, \frac{9}{5}\right)$，$C(x_{2},y_{2})$ 是右焦点为 $F$ 的椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ 上三个不同的点，则 “$|AF|$，$|BF|$，$|CF|$ 成等差数列”是 “$x_{1} + x_{2} = 8$” 的（ ）