设函数 $f(x) = ax - \frac{b}{x}$，曲线 $y = f(x)$ 在点 $(2, f(2))$ 处的切线方程为 $7x - 4y - 12 = 0$.

(1) 求 $f(x)$ 的解析式； (2) 证明：曲线 $y = f(x)$ 上任一点处的切线与直线 $x = 0$ 和直线 $y = x$ 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由切线方程 $7x-4y-12=0$ 得 $y=\frac{7}{4}x-3$. 在 $x=2$ 处，切点纵坐标为 $f(2)=\frac12$，而 $f'(x)=a+\frac{b}{x^{2}}$. 因此 分别乘以 $2$ 和 $4$，得 两式相加得 $8a=8$，所以 $a=1$；两式相减得 $2b=6$，所以 $b=3$. 因此 $f(x)=x-\frac{3}{x}$，$x\ne0$.

\item 设曲线上的任一点为 $T(t,f(t))$，其中 $t\ne0$. 由于 $f'(t)=1+\frac{3}{t^{2}}$， 切线方程为 整理得 它与直线 $x=0$ 的交点为 $P\left(0,-\frac{6}{t}\right)$，与直线 $y=x$ 的交点为 $Q(2t,2t)$. 直线 $x=0$ 与 $y=x$ 的交点为原点 $O$，所以所围三角形为 $\triangle OPQ$. 以 $OP$ 为底，点 $Q$ 到 $x=0$ 的距离为高，得 因此该三角形的面积为定值 $6$. \end{enumerate} \end{solution}