函数 $f(x) = \cos 2x + 2\sin x$ 的最小值和最大值分别为（ ）

如图，$\triangle ACD$ 是等边三角形，$\triangle ABC$ 是等腰直角三角形，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$BD$ 交 $AC$ 于 $E$，$AB = 2$.

(1) 求 $\cos \angle CBE$ 的值； (2) 求 $AE$.

\begin{solution} 以 $A$ 为原点建立平面直角坐标系，令 $AB$ 在 $x$ 轴正半轴上. 由 $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形且 $\angle ACB=90^{\circ}$，得 取 $B(2,0)$，则可令 $C(1,1)$. 由图中 $D$ 位于 $AC$ 的外侧，且 $\triangle ACD$ 为等边三角形，$AC$ 的中点为 $\left(\frac12,\frac12\right)$，从中点沿垂直于 $AC$ 的方向取距离 $\frac{\sqrt{6}}{2}$，得 $D=\left(\frac12,\frac12\right)+\left(-\frac{\sqrt{3}}2,\frac{\sqrt{3}}2\right)=\left(\frac{1-\sqrt{3}}2,\frac{1+\sqrt{3}}2\right)$.

\begin{enumerate} \item 直线 $AC$ 的方程为 $y=x$. 设 $E$ 为直线 $BD$ 上的点，令 由 $E\in AC$，即 $x=y$，得 $2+\frac{-3-\sqrt{3}}2t=\frac{1+\sqrt{3}}2t$，所以 $t=\frac{2}{2+\sqrt{3}}=2(2-\sqrt{3})=4-2\sqrt{3}$，从而 $E(\sqrt{3}-1,\sqrt{3}-1)$. 于是 $\overrightarrow{BC}=(-1,1)$，$\overrightarrow{BE}=(\sqrt{3}-3,\sqrt{3}-1)$，且 $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BE}=2$，$|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{BE}|=\sqrt{(\sqrt{3}-3)^2+(\sqrt{3}-1)^2}=2(\sqrt{3}-1)$. 因此

\item 由 $A(0,0)$ 和 $E(\sqrt{3}-1,\sqrt{3}-1)$，得 $AE=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2+(\sqrt{3}-1)^2}=\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)=\sqrt{6}-\sqrt{2}$. \end{enumerate} \end{solution}