若函数 $y = \frac{ax}{1 + x}$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称，则 $a$ 为（ ）

设函数 $f(x) = 6x^{3} + 3(a + 2)x^{2} + 2ax$.

(1) 若 $f(x)$ 的两个极值点为 $x_{1}$，$x_{2}$，且 $x_{1}x_{2} = 1$，求实数 $a$ 的值； (2) 是否存在实数 $a$，使得 $f(x)$ 是 $(-\infty, +\infty)$ 上的单调函数？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，说明理由.