设无穷等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$，若 $a_{1} = \lim\limits_{n\to \infty}(a_{3} + a_{4} + \dots + a_{n})$，则 $q =\underline{\hspace{2em}}$.

\begin{answer} $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 按非零首项的无穷等比数列定义，尾项和存在必须有 $|q|<1$. 由等比数列求和公式， $\lim\limits_{n\to\infty}(a_3+a_4+\cdots+a_n)=\dfrac{a_1q^2}{1-q}$. 与题设相等并约去非零的 $a_1$，得 $1=\dfrac{q^2}{1-q}$，即 $q^2+q-1=0$. 解得 $q=\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2}$，其中只有 $\dfrac{\sqrt5-1}{2}$ 满足 $|q|<1$，故所求为 $\dfrac{\sqrt5-1}{2}$. \end{solution}