方程 $\sin x + \sqrt{3}\cos x = 1$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 上的所有解的和等于______.

\begin{answer} $\frac{7\pi}{3}$ \end{answer}

\begin{solution} 由辅助角公式，$\sin x+\sqrt3\cos x=2\sin\left(x+\dfrac\pi3\right)$，故方程等价于 $\sin\left(x+\dfrac\pi3\right)=\dfrac12$. 令 $t=x+\dfrac\pi3$，则 $t\in\left[\dfrac\pi3,\dfrac{7\pi}3\right]$. 在此区间内，只有 $t=\dfrac{5\pi}6$ 和 $t=\dfrac{13\pi}6$ 满足正弦值为 $\dfrac12$，所以 $x=\dfrac\pi2$ 或 $x=\dfrac{11\pi}6$. 所有解的和为 $\dfrac\pi2+\dfrac{11\pi}6=\dfrac{7\pi}3$. \end{solution}