如图①，在边长为 1 的等边三角形 $ABC$ 中，$D$，$E$ 分别是 $AB$，$AC$ 上的点，$AD = AE$，$F$ 是 $BC$ 的中点，$AF$ 与 $DE$ 交于点 $G$，将 $\triangle ABF$ 沿 $AF$ 折起，得到如图②所示的三棱锥 $A - BCF$，其中 $BC = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

(1) 证明： $DE \parallel$ 平面 $BCF$； (2) 证明： $CF \perp$ 平面 $ABF$； (3) 当 $AD = \frac{2}{3}$ 时，求三棱锥 $F - DEG$ 的体积 $V_{F - DEG}$.