已知椭圆 $G$ 的中心在坐标原点，长轴在 $x$ 轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，两个焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$，椭圆 $G$ 上一点到 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 的距离之和为 12. 圆 $C_{k}: x^{2} + y^{2} + 2kx - 4y - 21 = 0$（$k \in \mathbf{R}$）的圆心为点 $A_{k}$.

(1) 求椭圆 $G$ 的方程； (2) 求 $\triangle A_{k}F_{1}F_{2}$ 面积； (3) 问是否存在圆 $C_{k}$ 包围椭圆 $G$？请说明理由.