过点 $(3,1)$ 作圆 $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ 的两条切线，切点分别为 $A$，$B$，则直线 $AB$ 的方程为（ ）

抛物线 $C_{1}: y = \frac{1}{2p}x^2$（$p > 0$）的焦点与双曲线 $C_{2}: \frac{x^2}{3} - y^2 = 1$ 的右焦点的连线交 $C_{1}$ 于第一象限的点 $M$. 若 $C_{1}$ 在点 $M$ 处的切线平行于 $C_{2}$ 的一条渐近线，则 $p =$（ ）