已知 $\widehat{AB}$ 是 $\odot O$ 上含 $120^\circ$ 的弧，过 $A$，$B$ 两点所引 $\odot O$ 的切线交于 $C$，$\odot M$ 是与 $\widehat{AB}$，$AC$，$BC$ 都相切的圆，求证 $\odot M$ 的周长等于 $\odot O$ 的周长的 $\frac{1}{3}$.