已知 $n$ 次多项式 $P_n(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n$. 如果在一种算法中，计算 $x_0^k$（$k=2$，$3$，$4$，$\cdots$，$n$）的值需要 $k-1$ 次乘法，计算 $P_3(x_0)$ 的值共需要 $9$ 次运算（$6$ 次乘法，$3$ 次加法），那么计算 $P_{10}(x_0)$ 的值共需要______ 次运算.

下面给出一种减少运算次数的算法：$P_0(x)=a_0$，$P_{k+1}(x)=xP_k(x)+a_{k+1}$（$k=0$，$1$，$2$，$\cdots$，$n-1$）. 利用该算法，计算 $P_3(x_0)$ 的值共需要 $6$ 次运算，计算 $P_{10}(x_0)$ 的值共需要______ 次运算.

设数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1=a\neq\frac{1}{4}$，且 记 $b_n=a_{2n-1}-\dfrac{1}{4}$，$n=1$，$2$，$3$，$\cdots$.

(1) 求 $a_2$，$a_3$； (2) 判断数列 $\{b_n\}$ 是否为等比数列，并证明你的结论； (3) 求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(b_1+b_2+\cdots+b_n\right)$.