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07解析几何★★★☆☆
连接抛物线 x2=4yx^{2} = 4y 的焦点 FF 与点 M(1,0)M(1,0) 所得的线段与抛物线交于点 AA. 设点 OO 为坐标原点，则三角形 OAMOAM 的面积为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 抛物线 x2=4yx^2=4y 的焦点为 F(0,1)F(0,1). 直线 FMFM 经过 F(0,1)F(0,1) 和 M(1,0)M(1,0)，方程为 y=1−xy=1-x. 联立抛物线方程，得
x2=4(1−x)⟺x2+4x−4=0x^2=4(1-x)\Longleftrightarrow x^2+4x-4=0
所以两个交点的横坐标为 x=−2±22x=-2\pm2\sqrt{2}. 由于线段 FMFM 上的点满足 0⩽x⩽10\leqslant x\leqslant1，只有 xA=−2+22x_A=-2+2\sqrt{2} 对应的交点在线段 FMFM 上；另一个根不在线段上. 因而纵坐标为 yA=1−xA=3−22y_A=1-x_A=3-2\sqrt{2}. 以 OMOM 为底，OM=1OM=1，三角形 OAMOAM 的高为 yAy_A，故
S△OAM=12⋅1⋅(3−22)=32−2S_{\triangle OAM}=\frac{1}{2}\cdot1\cdot(3-2\sqrt{2})=\frac{3}{2}-\sqrt{2}
故选 B. \end{solution}
A.
−1+2-1 + \sqrt{2}
B.
32−2\frac{3}{2} -\sqrt{2}
C.
1+21 + \sqrt{2}
D.
32+2\frac{3}{2} +\sqrt{2}

2007 · 江西 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★★★☆☆
若 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}，则下列命题正确的是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 函数 y=sin⁡xy=\sin x 在 [0,π2]\left[0,\frac{\pi}{2}\right] 上满足 y′′=−sin⁡x<0y''=-\sin x<0，所以图象严格向下凹. 连接端点 (0,0)\left(0,0\right) 和 (π2,1)\left(\frac{\pi}{2},1\right) 的弦所在直线为 y=2πxy=\frac{2}{\pi}x. 严格凹函数的图象在弦的上方，因此当 0<x<π20<x<\frac{\pi}{2} 时，
sin⁡x>2πx\sin x>\frac{2}{\pi}x
故选 B. \end{solution}
A.
sin⁡x<2πx\sin x < \frac{2}{\pi}x
B.
sin⁡x>2πx\sin x > \frac{2}{\pi}x
C.
sin⁡x<3πx\sin x < \frac{3}{\pi}x
D.
sin⁡x>3πx\sin x > \frac{3}{\pi}x

2007 · 江西 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
四面体 ABCDABCD 外接球球心在 CDCD 上，且 CD=2CD = 2，AB=3AB = \sqrt{3}，在外接球面上两点 AA，BB 间的球面距离是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 外接球球心在弦 CDCD 所在直线上，且 CC，DD 都在球面上，所以 CDCD 是球的直径. 由 CD=2CD=2，得外接球半径 R=1R=1.
设球心为 OO，且小于或等于 π\pi 的圆心角 ∠AOB=φ\angle AOB=\varphi. 弦长公式给出
AB=2Rsin⁡φ2=3AB=2R\sin\frac{\varphi}{2}=\sqrt{3}
从而 sin⁡φ2=32\sin\frac{\varphi}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}，所以 φ=2π3\varphi=\frac{2\pi}{3}. 球面距离等于对应大圆弧长，故
Rφ=1⋅2π3=2π3R\varphi=1\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}
故选 C. \end{solution}
A.
π6\frac{\pi}{6}
B.
π3\frac{\pi}{3}
C.
2π3\frac{2\pi}{3}
D.
5π6\frac{5\pi}{6}

2007 · 江西 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10集合与逻辑基础★★★☆☆
设 p:f(x)=x3+2x2+mx+1p: f(x) = x^3 + 2x^2 + mx + 1 在 (−∞,+∞)(- \infty, +\infty) 内单调递增，q:m⩾43q: m \geqslant \frac{4}{3}，则 pp 是 qq 的（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 函数 f(x)=x3+2x2+mx+1f(x)=x^3+2x^2+mx+1 的导数为
f′(x)=3x2+4x+m=3(x+23)2+m−43f'(x)=3x^2+4x+m=3\left(x+\frac{2}{3}\right)^2+m-\frac{4}{3}
要使 f(x)f(x) 在整个实数轴上单调递增，必须且只需 f′(x)⩾0f'(x)\geqslant0 对一切 x∈Rx\in\mathbf{R} 成立，即 m−43⩾0m-\frac{4}{3}\geqslant0，也就是 m⩾43m\geqslant\frac{4}{3}. 因此命题 pp 与命题 qq 等价，pp 是 qq 的充分必要条件，故选 C. \end{solution}
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2007 · 江西 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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12解析几何★★★☆☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的离心率为 e=12e = \frac{1}{2}，右焦点为 F(c,0)F(c,0). 方程 ax2+bx−c=0ax^2 + bx - c = 0 的两个实根分别为 x1x_1 和 x2x_2，则点 P(x1,x2)P(x_1, x_2)（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 椭圆的离心率满足 e=ca=12e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}，所以 c=a2c=\frac{a}{2}，并且 b2=a2−c2=3a24b^2=a^2-c^2=\frac{3a^2}{4}，从而 b=32ab=\frac{\sqrt{3}}{2}a.
由方程 ax2+bx−c=0ax^2+bx-c=0 的韦达定理， x1+x2=−ba=−32x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{\sqrt{3}}{2}，x1x2=−ca=−12x_1x_2=-\frac{c}{a}=-\frac{1}{2}. 因此点 P(x1,x2)P(x_1,x_2) 到原点的距离平方为
x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=34+1=74<2x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{3}{4}+1=\frac{7}{4}<2
所以点 PP 必在圆 x2+y2=2x^2+y^2=2 内，故选 C. \end{solution}
A.
必在圆 x2+y2=2x^{2} + y^{2} = 2 上
B.
必在圆 x2+y2=2x^{2} + y^{2} = 2 外
C.
必在圆 x2+y2=2x^{2} + y^{2} = 2 内
D.
以上三种情形都有可能

2007 · 江西 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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17函数与初等函数★★★☆☆
已知函数
f(x)={cx+1,0<x<c,2−xc2+1,c⩽x<1,f(x)=\begin{cases} cx+1,&0<x<c,\\ 2^{-\frac{x}{c^{2}}}+1,&c\leqslant x<1, \end{cases}
在区间 (0,1)(0,1) 内连续，且 f(c2)=98f(c^{2})=\frac{9}{8}.
(1) 求常数 cc 的值； (2) 解不等式 f(x)>28+1f(x) > \frac{\sqrt{2}}{8} + 1.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 f(c2)f(c^2) 有意义且定义域为 (0,1)(0,1)，得 c2∈(0,1)c^2\in(0,1). 若 −1<c<0-1<c<0，则 c<c2<1c<c^2<1，由第二段可得 f(c2)=2−c2c2+1=32≠98f(c^2)=2^{-\frac{c^2}{c^2}}+1=\frac{3}{2}\ne\frac{9}{8}，所以 0<c<10<c<1. 因此 c2<cc^2<c，从而 f(c2)=c⋅c2+1=c3+1=98f(c^2)=c\cdot c^2+1=c^3+1=\frac{9}{8}，解得 c=12c=\frac{1}{2}. 此时在分界点 x=cx=c 处，左侧极限为 c2+1=54c^2+1=\frac{5}{4}，右侧函数值为 2−1c+1=542^{-\frac{1}{c}}+1=\frac{5}{4}，两者相等，确实满足连续性条件.
\item 当 c=12c=\frac{1}{2} 时，不等式为 f(x)>1+28f(x)>1+\frac{\sqrt{2}}{8}. 当 0<x<120<x<\frac{1}{2} 时，f(x)=x2+1f(x)=\frac{x}{2}+1，所以 x2+1>1+28⟺x>24\frac{x}{2}+1>1+\frac{\sqrt{2}}{8}\Longleftrightarrow x>\frac{\sqrt{2}}{4}，得到 24<x<12\frac{\sqrt{2}}{4}<x<\frac{1}{2}. 当 12⩽x<1\frac{1}{2}\leqslant x<1 时，f(x)=2−4x+1f(x)=2^{-4x}+1，且 28=2−52\frac{\sqrt{2}}{8}=2^{-\frac{5}{2}}，所以 2−4x>2−52⟺x<582^{-4x}>2^{-\frac{5}{2}}\Longleftrightarrow x<\frac{5}{8}，得到 12⩽x<58\frac{1}{2}\leqslant x<\frac{5}{8}. 合并两段，原不等式的解集为 (24,58)\left(\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{5}{8}\right). \end{enumerate} \end{solution}

2007 · 江西 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
如图，函数 y=2cos⁡(ωx+θ)y = 2\cos (\omega x + \theta)（x∈Rx \in \mathbf{R}，0⩽θ⩽π20 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}）的图象与 yy 轴交于点 (0,3)(0, \sqrt{3})，且在该点处切线的斜率为 −2-2.
(1) 求 θ\theta 和 ω\omega 的值； (2) 已知点 A(π2,0)A\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)，点 PP 是该函数图象上的一点，点 Q(x0,y0)Q(x_0, y_0) 是 PAPA 的中点，当 y0=32y_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}，x0∈[π2,π]x_0 \in \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right] 时，求 x0x_0 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由图象经过 (0,3)(0,\sqrt{3})，得 2cos⁡θ=32\cos\theta=\sqrt{3}. 由于 0⩽θ⩽π20\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{2}，所以 θ=π6\theta=\frac{\pi}{6}. 函数的导数为 y′=−2ωsin⁡(ωx+θ)y'=-2\omega\sin(\omega x+\theta)，由 yy 轴交点处的切线斜率为 −2-2，得 −2ωsin⁡θ=−2-2\omega\sin\theta=-2，即 ωsin⁡π6=1\omega\sin\frac{\pi}{6}=1，故 ω=2\omega=2.
\item 设 P(x1,y1)P(x_1,y_1). 因为 QQ 是 PAPA 的中点，所以 x0=x1+π22x_0=\frac{x_1+\frac{\pi}{2}}{2}，y0=y12y_0=\frac{y_1}{2}. 由 y0=32y_0=\frac{\sqrt{3}}{2} 得 y1=3y_1=\sqrt{3}，再由 PP 在函数图象上得 2cos⁡(2x1+π6)=32\cos\left(2x_1+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}，即 cos⁡(2x1+π6)=32\cos\left(2x_1+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}. 由 x0∈[π2,π]x_0\in\left[\frac{\pi}{2},\pi\right] 及 x1=2x0−π2x_1=2x_0-\frac{\pi}{2}，知 x1∈[π2,3π2]x_1\in\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]，于是 2x1+π6∈[7π6,19π6]2x_1+\frac{\pi}{6}\in\left[\frac{7\pi}{6},\frac{19\pi}{6}\right]. 在此区间内满足余弦值为 32\frac{\sqrt{3}}{2} 的角只有 11π6\frac{11\pi}{6} 和 13π6\frac{13\pi}{6}，因此 x1=5π6x_1=\frac{5\pi}{6} 或 x1=πx_1=\pi. 代回中点公式，分别得到 x0=2π3x_0=\frac{2\pi}{3} 或 x0=3π4x_0=\frac{3\pi}{4}. \end{enumerate} \end{solution}

2007 · 江西 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
栽培甲，乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽. 已知甲，乙两种果树成苗的概率分别为 0.60.6，0.50.5，移栽后成活的概率分别为 0.70.7，0.90.9.
(1) 求甲，乙两种果树至少有一种果树成苗的概率； (2) 求恰好一种果树能栽培成苗且移栽成活的概率.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设事件 AA，BB 分别表示甲、乙果树成苗. 按题意各阶段的成败相互独立，所以 P(A∪B)=1−P(A‾∩B‾)=1−(1−0.6)(1−0.5)=0.8P(A\cup B)=1-P(\overline{A}\cap\overline{B})=1-(1-0.6)(1-0.5)=0.8. \item 设 CC，DD 分别表示甲、乙果树成苗且移栽成活，则 P(C)=0.6×0.7=0.42P(C)=0.6\times0.7=0.42，P(D)=0.5×0.9=0.45P(D)=0.5\times0.9=0.45. 恰好一种果树成苗且移栽成活的概率为 P(C∩D‾)+P(C‾∩D)=0.42(1−0.45)+(1−0.42)0.45=0.492P(C\cap\overline{D})+P(\overline{C}\cap D)=0.42(1-0.45)+(1-0.42)0.45=0.492. \end{enumerate} \end{solution}

2007 · 江西 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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