连接抛物线 $x^{2} = 4y$ 的焦点 $F$ 与点 $M(1,0)$ 所得的线段与抛物线交于点 $A$. 设点 $O$ 为坐标原点，则三角形 $OAM$ 的面积为（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 抛物线 $x^2=4y$ 的焦点为 $F(0,1)$. 直线 $FM$ 经过 $F(0,1)$ 和 $M(1,0)$，方程为 $y=1-x$. 联立抛物线方程，得 所以两个交点的横坐标为 $x=-2\pm2\sqrt{2}$. 由于线段 $FM$ 上的点满足 $0\leqslant x\leqslant1$，只有 $x_A=-2+2\sqrt{2}$ 对应的交点在线段 $FM$ 上；另一个根不在线段上. 因而纵坐标为 $y_A=1-x_A=3-2\sqrt{2}$. 以 $OM$ 为底，$OM=1$，三角形 $OAM$ 的高为 $y_A$，故 故选 B. \end{solution}

设椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率为 $e = \frac{1}{2}$，右焦点为 $F(c,0)$. 方程 $ax^2 + bx - c = 0$ 的两个实根分别为 $x_1$ 和 $x_2$，则点 $P(x_1, x_2)$（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 椭圆的离心率满足 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，所以 $c=\frac{a}{2}$，并且 $b^2=a^2-c^2=\frac{3a^2}{4}$，从而 $b=\frac{\sqrt{3}}{2}a$.

由方程 $ax^2+bx-c=0$ 的韦达定理， $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x_1x_2=-\frac{c}{a}=-\frac{1}{2}$. 因此点 $P(x_1,x_2)$ 到原点的距离平方为 所以点 $P$ 必在圆 $x^2+y^2=2$ 内，故选 C. \end{solution}