设 $p: f(x) = x^3 + 2x^2 + mx + 1$ 在 $(- \infty, +\infty)$ 内单调递增，$q: m \geqslant \frac{4}{3}$，则 $p$ 是 $q$ 的（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 函数 $f(x)=x^3+2x^2+mx+1$ 的导数为 要使 $f(x)$ 在整个实数轴上单调递增，必须且只需 $f'(x)\geqslant0$ 对一切 $x\in\mathbf{R}$ 成立，即 $m-\frac{4}{3}\geqslant0$，也就是 $m\geqslant\frac{4}{3}$. 因此命题 $p$ 与命题 $q$ 等价，$p$ 是 $q$ 的充分必要条件，故选 C. \end{solution}

如图，函数 $y = 2\cos (\omega x + \theta)$（$x \in \mathbf{R}$，$0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}$）的图象与 $y$ 轴交于点 $(0, \sqrt{3})$，且在该点处切线的斜率为 $-2$.

(1) 求 $\theta$ 和 $\omega$ 的值； (2) 已知点 $A\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$，点 $P$ 是该函数图象上的一点，点 $Q(x_0, y_0)$ 是 $PA$ 的中点，当 $y_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$x_0 \in \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ 时，求 $x_0$ 的值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由图象经过 $(0,\sqrt{3})$，得 $2\cos\theta=\sqrt{3}$. 由于 $0\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{2}$，所以 $\theta=\frac{\pi}{6}$. 函数的导数为 $y'=-2\omega\sin(\omega x+\theta)$，由 $y$ 轴交点处的切线斜率为 $-2$，得 $-2\omega\sin\theta=-2$，即 $\omega\sin\frac{\pi}{6}=1$，故 $\omega=2$.

\item 设 $P(x_1,y_1)$. 因为 $Q$ 是 $PA$ 的中点，所以 $x_0=\frac{x_1+\frac{\pi}{2}}{2}$，$y_0=\frac{y_1}{2}$. 由 $y_0=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 得 $y_1=\sqrt{3}$，再由 $P$ 在函数图象上得 $2\cos\left(2x_1+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}$，即 $\cos\left(2x_1+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$. 由 $x_0\in\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]$ 及 $x_1=2x_0-\frac{\pi}{2}$，知 $x_1\in\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]$，于是 $2x_1+\frac{\pi}{6}\in\left[\frac{7\pi}{6},\frac{19\pi}{6}\right]$. 在此区间内满足余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的角只有 $\frac{11\pi}{6}$ 和 $\frac{13\pi}{6}$，因此 $x_1=\frac{5\pi}{6}$ 或 $x_1=\pi$. 代回中点公式，分别得到 $x_0=\frac{2\pi}{3}$ 或 $x_0=\frac{3\pi}{4}$. \end{enumerate} \end{solution}