已知函数 在区间 $(0,1)$ 内连续，且 $f(c^{2})=\frac{9}{8}$.

(1) 求常数 $c$ 的值； (2) 解不等式 $f(x) > \frac{\sqrt{2}}{8} + 1$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 $f(c^2)$ 有意义且定义域为 $(0,1)$，得 $c^2\in(0,1)$. 若 $-1<c<0$，则 $c<c^2<1$，由第二段可得 $f(c^2)=2^{-\frac{c^2}{c^2}}+1=\frac{3}{2}\ne\frac{9}{8}$，所以 $0<c<1$. 因此 $c^2<c$，从而 $f(c^2)=c\cdot c^2+1=c^3+1=\frac{9}{8}$，解得 $c=\frac{1}{2}$. 此时在分界点 $x=c$ 处，左侧极限为 $c^2+1=\frac{5}{4}$，右侧函数值为 $2^{-\frac{1}{c}}+1=\frac{5}{4}$，两者相等，确实满足连续性条件.

\item 当 $c=\frac{1}{2}$ 时，不等式为 $f(x)>1+\frac{\sqrt{2}}{8}$. 当 $0<x<\frac{1}{2}$ 时，$f(x)=\frac{x}{2}+1$，所以 $\frac{x}{2}+1>1+\frac{\sqrt{2}}{8}\Longleftrightarrow x>\frac{\sqrt{2}}{4}$，得到 $\frac{\sqrt{2}}{4}<x<\frac{1}{2}$. 当 $\frac{1}{2}\leqslant x<1$ 时，$f(x)=2^{-4x}+1$，且 $\frac{\sqrt{2}}{8}=2^{-\frac{5}{2}}$，所以 $2^{-4x}>2^{-\frac{5}{2}}\Longleftrightarrow x<\frac{5}{8}$，得到 $\frac{1}{2}\leqslant x<\frac{5}{8}$. 合并两段，原不等式的解集为 $\left(\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{5}{8}\right)$. \end{enumerate} \end{solution}