椭圆 $\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{3} = 1$ 的焦点为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$. 点 $P$ 在椭圆上，如果线段 $PF_{1}$ 的中点在 $y$ 轴上，那么 $|PF_{1}|$ 是 $|PF_{2}|$ 的（ ）

设圆过双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是______.

如图，直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 相交于点 $M$，$l_{1} \perp l_{2}$，点 $N \in l_{1}$，以 $A$，$B$ 为端点的曲线段 $C$ 上的任一点到 $l_{2}$ 的距离与到点 $N$ 的距离相等. 若 $\triangle AMN$ 为锐角三角形，$|AM| = \sqrt{17}$，$|AN| = 3$，且 $|BN| = 6$. 建立适当的坐标系，求曲线段 $C$ 的方程.