球面上有 $3$ 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 $\frac{1}{6}$，经过这 $3$ 个点的小圆的周长为 $4\pi$，那么这个球的半径为（ ）

在直四棱柱 $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}-ABCD$ 中，当底面四边形 $ABCD$ 满足条件______ 时，有 $A_{1}C \perp B_{1}D_{1}$. （注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）