已知函数 $f(x)=\dfrac{6\cos^4x-5\cos^2x+1}{\cos 2x}$. 求 $f(x)$ 的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.

\begin{solution} 函数有意义的条件是分母不为零，即 $\cos 2x\neq0 \Longleftrightarrow 2x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi \Longleftrightarrow x\neq\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}$，（$k\in\mathbf{Z}$）. 所以定义域为

在定义域内，分子可因式分解为 又 $\cos 2x=2\cos^2x-1$，因此在 $D$ 上 定义域关于原点对称，且 $\cos^2(-x)=\cos^2x$，所以 $f(-x)=f(x)$，函数为偶函数.

令 $t=\cos^2x$，则 $0\leqslant t\leqslant1$. 但 $t=\dfrac12$ 时 $\cos 2x=0$，不属于定义域，因此 $t\neq\dfrac12$. 于是 其最小值在 $t=0$ 时取得，为 $-1$，最大值在 $t=1$ 时取得，为 $2$；值 $\dfrac12$ 对应唯一的 $t=\dfrac12$，因而不能取得. 所以值域为 \end{solution}

某租赁公司拥有汽车 $100$ 辆. 当每辆车的月租金为 $3000\text{ 元}$ 时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加 $50\text{ 元}$ 时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费 $150\text{ 元}$，未租出的车每辆每月需要维护费 $50\text{ 元}$.

(1) 当每辆车的月租金定为 $3600\text{ 元}$ 时，能租出多少辆车？ (2) 当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是多少？

\begin{solution} 设未租出的车辆数为 $x$，则 $0\leqslant x\leqslant100$，租出的车辆数为 $100-x$，每辆车的月租金为 $3000+50x\text{ 元}$.

\begin{enumerate} \item 当月租金为 $3600\text{ 元}$ 时， 所以租出的车辆数为 $100-12=88\text{ 辆}$.

\item 以元为单位，月收益为租金收入减去维护费用，因此 由于 $x$ 为车辆数，且 $0\leqslant x\leqslant100$，当 $x=21$ 时收益取得最大值 $307050\text{ 元}$. 此时每辆车的月租金为 因此月租金定为 $4050\text{ 元}$ 时，月收益最大，最大月收益为 $307050\text{ 元}$. \end{enumerate} \end{solution}