如图，在边长为 $l$ 的等边 $\triangle ABC$ 中，圆 $O_1$ 为 $\triangle ABC$ 的内切圆，圆 $O_2$ 与圆 $O_1$ 外切，且与 $AB$，$BC$ 相切，$\cdots$，圆 $O_{n+1}$ 与圆 $O_n$ 外切，且与 $AB$，$BC$ 相切，如此无限继续下去. 记圆 $O_n$ 的面积为 $a_n$（$n\in\mathbf{N}$）.

(1) 证明 $\{a_n\}$ 是等比数列； (2) 求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_1+a_2+\cdots+a_n)$ 的值.

\begin{solution} 记圆 $O_n$ 的半径为 $\rho_n$. 由于每个圆都与 $AB$，$BC$ 相切，其圆心均在 $\angle B$ 的内部角平分线上. 又因为 $\angle B=60^{\circ}$，圆心到点 $B$ 的距离满足 相邻的两个圆外切，且 $O_{n+1}$ 位于 $O_n$ 与点 $B$ 之间，所以 另一方面，外切圆的圆心距等于半径之和，即 联立得 所以 $\rho_{n+1}=\dfrac13\rho_n$，从而 因此 $\{a_n\}$ 是首项为 $a_1$、公比为 $\dfrac19$ 的等比数列.

等边三角形内切圆半径为 所以 前 $n$ 项和为 令 $n\to\infty$，由于 $\left|\dfrac19\right|<1$，得到 \end{solution}