设函数 $f(x) = x\mathrm{e}^{kx}$ （$k \neq 0$）.

(1) 求曲线 $y = f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程； (2) 求函数 $f(x)$ 的单调区间； (3) 若函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内单调递增，求 $k$ 的取值范围.