已知 $f(x)=\sin\left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)$，$\omega>0$.

(1) 设 $\omega=1$，求 $y=f(x)$，$x\in[0,\pi]$ 的值域； (2) $a>\pi$（$a\in\mathbf{R}$），$f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$，若在 $x\in[\pi,a]$ 上恰有 $3$ 个零点，求 $a$ 的取值范围.