已知 $F_{1}(-1,0)$，$F_{2}(1,0)$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点，过 $F_{2}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交 $C$ 于 $A$，$B$ 两点，且 $|AB| = 3$，则 $C$ 的方程为（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 设椭圆的长半轴、短半轴分别为 $a$，$b$，焦距参数为 $c$. 由焦点坐标得 $c=1$， 且 $a^2-b^2=c^2=1$. 直线 $x=1$ 与椭圆的两个交点为 $A$，$B$， 由 $|AB|=3$ 得交点的纵坐标为 $\pm\frac{3}{2}$. 代入椭圆方程，得 结合 $a^2=b^2+1$，可得 即 $4b^2+9(b^2+1)=4b^2(b^2+1)$，整理得 $4b^4-9b^2-9=0$，即 $(4b^2+3)(b^2-3)=0$. 由于 $b>0$，所以 $b^2=3$，进而 $a^2=4$. 所以椭圆方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$. 故选 C. \end{solution}