已知正四棱柱 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$AA_{1} = 2AB$，则 $CD$ 与平面 $BDC_{1}$ 所成角的正弦值等于（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 设正方形底面边长为 $s=AB$，取空间直角坐标系，使 $A(0,0,0)$，$B(s,0,0)$，$C(s,s,0)$，$D(0,s,0)$，$C_1(s,s,2s)$. 则直线 $CD$ 的方向向量可取 $\boldsymbol{v}=(1,0,0)$. 平面 $BDC_1$ 内有两个不共线向量 $\overrightarrow{DB}=(1,-1,0)s$，$\overrightarrow{DC_1}=(1,0,2)s$， 故其法向量可取 设直线 $CD$ 与平面 $BDC_1$ 所成角为 $\theta$，则 故选 A. \end{solution}

如图，四棱锥 $P - ABCD$ 中，$\angle ABC = \angle BAD = 90^{\circ}$，$BC = 2AD$，$\triangle PAB$ 与 $\triangle PAD$ 都是边长为 2 的等边三角形.

(1) 证明：$PB \perp CD$； (2) 求点 $A$ 到平面 $PCD$ 的距离.