设 $m$，$n \in \mathbf{R}$，若直线 $l: mx + ny - 1 = 0$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$，与 $y$ 轴相交于点 $B$，且 $l$ 与圆 $x^2 + y^2 = 4$ 相交所得弦的长为 $2$，$O$ 为坐标原点，则 $\triangle AOB$ 面积的最小值为______.

如图，已知 $AB$ 和 $AC$ 是圆的两条弦，过点 $B$ 作圆的切线与 $AC$ 的延长线相交于点 $D$. 过点 $C$ 作 $BD$ 的平行线与圆相交于点 $E$，与 $AB$ 相交于点 $F$，$AF = 3$，$FB = 1$，$EF = \frac{3}{2}$，则线段 $CD$ 的长为______.