设 $m$，$n \in \mathbf{R}$，若直线 $l: mx + ny - 1 = 0$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$，与 $y$ 轴相交于点 $B$，且 $l$ 与圆 $x^2 + y^2 = 4$ 相交所得弦的长为 $2$，$O$ 为坐标原点，则 $\triangle AOB$ 面积的最小值为______.