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15解析几何★★★☆☆
已知 A(0,1)A(0,1)，B(1,2)B(1,2)，CC 在 Γ:x2−y2=1\Gamma:x^2-y^2=1（x≥1x\ge1，y≥0y\ge0） 上，则 △ABC\triangle ABC 的面积（ ）
A.
有最大值，但没有最小值
B.
没有最大值，但有最小值
C.
既有最大值，也有最小值
D.
既没有最大值，也没有最小值

2025 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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11解析几何★★★☆☆
已知抛物线 y2=2pxy^2=2px（p>0p>0），若第一象限的 AA，BB 在抛物线上，焦点为 FF，∣AF∣=2|AF|=2，∣BF∣=4|BF|=4，∣AB∣=3|AB|=3，求直线 ABAB 的斜率为______.

2021 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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16解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 C1:x236+y24=1C_1:\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{4}=1 和 C2:x2+y29=1C_2:x^2+\dfrac{y^2}{9}=1. PP 为 C1C_1 上的动点，QQ 为 C2C_2 上的动点，ww 是 OP→⋅OQ→\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ} 的最大值. 记 Ω={(P,Q)∣P 在 C1 上，Q 在 C2 上，且OP→⋅OQ→=w}\Omega=\{(P,Q)\mid P\text{ 在 }C_1\text{ 上，}Q\text{ 在 }C_2\text{ 上，且}\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=w\}，则 Ω\Omega 中元素个数为（ ）
A.
22个
B.
44个
C.
88个
D.
含有无穷个元素

2017 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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10解析几何★★★☆☆
设 a>0a>0，b>0b>0，若关于 xx，yy 的方程组
{ax+y=1,x+by=1\begin{cases} ax+y=1,\\ x+by=1 \end{cases}
无解，则 a+ba+b 的取值范围是______.

2016 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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20解析几何★★★☆☆
有一块正方形菜地 EFGHEFGH，EHEH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 FF 点或河边运走. 于是，菜地分为两个区域 S1S_1 和 S2S_2，其中 S1S_1 中的蔬菜运到河边较近，S2S_2 中的蔬菜运到 FF 点较近，而菜地内 S1S_1 和 S2S_2 的分界线 CC 上的点到河边与到 FF 点的距离相等. 现建立平面直角坐标系，其中原点 OO 为 EFEF 的中点，点 FF 的坐标为 (1,0)(1,0)，如图.
(1) 求菜地内的分界线 CC 的方程； (2) 菜农从蔬菜运量估计出 S1S_1 面积是 S2S_2 面积的两倍，由此得到 S1S_1 面积的“经验值”为 83\dfrac83. 设 MM 是 CC 上纵坐标为 11 的点，请计算以 EHEH 为一边，另有一边过点 MM 的矩形的面积，及五边形 EOMGHEOMGH 的面积，并判别哪一个更接近于 S1S_1 面积的“经验值”.

2016 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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12平面向量★★★☆☆
如图，已知点 O(0,0)O(0,0)，A(1,0)A(1,0)，B(0,−1)B(0,-1)，PP 是曲线 y=1−x2y=\sqrt{1-x^2} 上一个动点，则 OP→⋅BA→\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{BA} 的取值范围是______.

2016 · 上海 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13不等式★★★☆☆
设 a>0a>0，b>0b>0，若关于 xx，yy 的方程组
{ax+y=1,x+by=1\begin{cases} ax+y=1,\\ x+by=1 \end{cases}
无解，则 a+ba+b 的取值范围是______.

2016 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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20解析几何★★★☆☆
有一块正方形菜地 EFGHEFGH，EHEH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 FF 点或河边运走. 于是，菜地分为两个区域 S1S_1 和 S2S_2，其中 S1S_1 中的蔬菜运到河边较近，S2S_2 中的蔬菜运到 FF 点较近，而菜地内 S1S_1 和 S2S_2 的分界线 CC 上的点到河边与到 FF 点的距离相等. 现建立平面直角坐标系，其中原点 OO 为 EFEF 的中点，点 FF 的坐标为 (1,0)(1,0)，如图.
(1) 求菜地内的分界线 CC 的方程； (2) 菜农从蔬菜运量估计出 S1S_1 面积是 S2S_2 面积的两倍，由此得到 S1S_1 面积的“经验值”为 83\dfrac83. 设 MM 是 CC 上纵坐标为 11 的点，请计算以 EHEH 为一边，另一边过点 MM 的矩形的面积，及五边形 EOMGHEOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于 S1S_1 面积的“经验值”.

2016 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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12解析几何★★★☆☆
已知双曲线 C1C_1，C2C_2 的顶点重合，C1C_1 的方程为 x24−y2=1\frac{x^2}{4} - y^2 = 1，若 C2C_2 的一条渐近线的斜率是 C1C_1 的一条渐近线的斜率的 2 倍，则 C2C_2 的方程为______.

2015 · 上海 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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14平面向量★★★☆☆
已知曲线 C:x=−4−y2C: x = -\sqrt{4 - y^2}，直线 l:x=6l: x = 6. 若对于点 A(m,0)A(m,0)，存在 CC 上的点 PP 和 ll 上的 QQ 使得 AP→+AQ→=0→\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{0}，则 mm 的取值范围为______.

2014 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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17解析几何★★★☆☆
已知 P1(a1,b1)P_{1}(a_{1}, b_{1}) 与 P2(a2,b2)P_{2}(a_{2}, b_{2}) 是直线 y=kx+1y = kx + 1（kk 为常数）上两个不同的点，则关于 xx 和 yy 的方程组
{a1x+b1y=1,a2x+b2y=1\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y = 1,\\ a_{2}x + b_{2}y = 1 \end{cases}
的解的情况是（ ）
A.
无论 k,P1,P2k, P_{1}, P_{2} 如何，总是无解
B.
无论 kk，P1P_{1}，P2P_{2} 如何，总有唯一解
C.
存在 kk，P1P_{1}，P2P_{2}，使之恰有两解
D.
存在 kk，P1P_{1}，P2P_{2}，使之有无穷多解

2014 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 选择题

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18解析几何★★★☆☆
已知 P1(a1,b1)P_{1}(a_{1}, b_{1}) 与 P2(a2,b2)P_{2}(a_{2}, b_{2}) 是直线 y=kx+1y = kx + 1（kk 为常数）上两个不同的点，则关于 xx 和 yy 的方程组
{a1x+b1y=1,a2x+b2y=1\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y = 1,\\ a_{2}x + b_{2}y = 1 \end{cases}
的解的情况是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 由 PiP_i 在直线 y=kx+1y=kx+1 上，有 bi=kai+1b_i=ka_i+1（i=1i=1，22）. 方程组的系数行列式为 a1b2−a2b1=a1(ka2+1)−a2(ka1+1)=a1−a2a_1b_2-a_2b_1=a_1(ka_2+1)-a_2(ka_1+1)=a_1-a_2. 若 a1=a2a_1=a_2，则由同一直线方程可得 b1=b2b_1=b_2，与两点不同矛盾，因此 a1−a2≠0a_1-a_2\ne0. 系数行列式非零，方程组始终有唯一解，选 B. \end{solution}
A.
无论 k,P1,P2k, P_{1}, P_{2} 如何，总是无解
B.
无论 kk，P1P_{1}，P2P_{2} 如何，总有唯一解
C.
存在 kk，P1P_{1}，P2P_{2}，使之恰有两解
D.
存在 kk，P1P_{1}，P2P_{2}，使之有无穷多解

2014 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 选择题

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07解析几何★★★☆☆
在极坐标系中，曲线 ρ=cos⁡θ+1\rho=\cos\theta+1 与 ρcos⁡θ=1\rho\cos\theta=1 的公共点到极点的距离为______. \begin{answer} 1+52\frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{answer}
\begin{solution} 极坐标中 ρcos⁡θ=1\rho\cos\theta=1，故 cos⁡θ=1ρ\cos\theta=\frac{1}{\rho}. 与 ρ=cos⁡θ+1\rho=\cos\theta+1 联立，得
ρ=1ρ+1,即ρ2−ρ−1=0\rho=\frac{1}{\rho}+1, \qquad\text{即}\qquad \rho^2-\rho-1=0
其根为 1+52\frac{1+\sqrt5}{2} 和 1−52\frac{1-\sqrt5}{2}. 后一个根的绝对值小于 11，不可能满足 ∣cos⁡θ∣=∣1ρ∣⩽1\left|\cos\theta\right|=\left|\frac{1}{\rho}\right|\leqslant1，故公共点到极点的距离为正根
ρ=1+52\rho=\frac{1+\sqrt5}{2}
\end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

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09解析几何★★★☆☆
设 ABAB 是椭圆 Γ\Gamma 的长轴，点 CC 在 Γ\Gamma 上，且 ∠CBA=π4\angle CBA=\frac{\pi}{4}，若 AB=4AB=4，BC=2BC=\sqrt{2}，则 Γ\Gamma 的两个焦点之间的距离为______. \begin{answer} 463\frac{4\sqrt{6}}{3} \end{answer}
\begin{solution} 设椭圆的长半轴为 aa，短半轴为 bb，焦半距为 cc. 由 AB=4AB=4，得 a=2a=2. 取 B=(2,0)B=(2,0)，使 BABA 沿负 xx 轴；由 BC=2BC=\sqrt2 且 ∠CBA=π4\angle CBA=\frac{\pi}{4}，可取
C=(1,1)C=(1,1)
（取 C=(1,−1)C=(1,-1) 时计算相同）. 因 CC 在椭圆上，
1222+12b2=1\frac{1^2}{2^2}+\frac{1^2}{b^2}=1
所以 b2=43b^2=\frac{4}{3}. 于是
c2=a2−b2=4−43=83c^2=a^2-b^2=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}
两个焦点之间的距离为 2c2c，故
2c=283=4632c=2\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{4\sqrt6}{3}
\end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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12解析几何★★★☆☆
设 ABAB 是椭圆 Γ\Gamma 的长轴，点 CC 在 Γ\Gamma 上，且 ∠CBA=π4\angle CBA = \frac{\pi}{4}，若 AB=4AB = 4，BC=2BC = \sqrt{2}，则 Γ\Gamma 的两个焦点之间的距离为______.
\begin{answer} 463\frac{4\sqrt{6}}{3} \end{answer}
\begin{solution} 取椭圆中心为原点，令长轴水平，设 A=(−2,0)A=(-2,0)、B=(2,0)B=(2,0). 由 BC=2BC=\sqrt{2} 且 ∠CBA=π4\angle CBA=\frac{\pi}{4}，可取 C=(1,1)C=(1,1)；取关于长轴对称的另一点时计算相同. 设椭圆方程为
x24+y2b2=1\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1
将 C=(1,1)C=(1,1) 代入，得 14+1b2=1\frac14+\frac{1}{b^2}=1，b2=43b^2=\frac43. 椭圆的焦半距满足 c2=4−b2=83c^2=4-b^2=\frac83，所以两个焦点之间的距离为
2c=283=4632c=2\sqrt{\frac83}=\frac{4\sqrt6}{3}
\end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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10解析几何★★★☆☆
如图，在极坐标系中，过点 M(2,0)M(2,0) 的直线 ll 与极轴的夹角 α=π6\alpha = \frac{\pi}{6}. 若将 ll 的极坐标方程写成 ρ=f(θ)\rho = f(\theta) 的形式，则 f(θ)=‾f(\theta) =\underline{\hspace{2em}}.

2012 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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21函数与初等函数★★★☆☆
海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 yy 轴正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里1\text{ 海里} 为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里12\text{ 海里} AA 处，如图. 现假设：
① 失事船的移动路径可视为抛物线 y=1249x2y = \frac{12}{49} x^2； ② 定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援； ③ 救援船出发 tt 小时后，失事船所在位置的横坐标为 7t7t.
(1) 当 t=0.5t = 0.5 时，写出失事船所在位置 PP 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向； (2) 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

2012 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★☆☆
海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 yy 轴正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里1\text{ 海里} 为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里12\text{ 海里} AA 处，如图. 现假设：
① 失事船的移动路径可视为抛物线 y=1249x2y = \frac{12}{49} x^{2}； ② 定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援； ③ 救援船出发 tt 小时后，失事船所在位置的横坐标为 7t7t.
(1) 当 t=0.5t = 0.5 时，写出失事船所在位置 PP 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向； (2) 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

2012 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
已知椭圆 C:x2m2+y2=1C: \frac{x^2}{m^2} + y^{2} = 1（常数 m>1m > 1），PP 是曲线 CC 上的动点，MM 是曲线 CC 的右顶点，定点 AA 的坐标为 (2,0)(2,0).
(1) 若 MM 与 AA 重合，求曲线 CC 的焦点坐标； (2) 若 m=3m = 3，求 ∣PA∣|PA| 的最大值与最小值； (3) 若 ∣PA∣|PA| 的最小值为 ∣MA∣|MA|，求实数 mm 的取值范围.

2011 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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11解析几何★★★☆☆
将直线 l1:nx+y−n=0l_1: nx + y - n = 0，l2:x+ny−n=0l_2: x + ny - n = 0 （n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，n⩾2n \geqslant 2），xx 轴，yy 轴围成的封闭区域的面积记为 SnS_n，则 lim⁡n→∞Sn=‾\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n =\underline{\hspace{2em}}.

2010 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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13解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系中，双曲线 Γ\Gamma 的中心在原点，它的一个焦点坐标为 (5,0)(\sqrt{5},0)，e1=(2,1)\boldsymbol{e}_1 = (2,1)，e2=(2,−1)\boldsymbol{e}_2 = (2,-1) 分别是两条渐近线的方向向量. 任取双曲线 Γ\Gamma 上的点 PP，若 OP→=ae1+be2\overrightarrow{OP} = a\boldsymbol{e}_1 + b\boldsymbol{e}_2（aa，b∈Rb \in \mathbf{R}），则 aa，bb 满足的一个等式是______.

2010 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
将直线 l1:x+y−1=0l_1: x + y - 1 = 0，l2:nx+y−n=0l_2: nx + y - n = 0，l3:x+ny−n=0l_3: x + ny - n = 0 （n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，n⩾2n \geqslant 2）围成的三角形面积记为 SnS_n. 则 lim⁡n→∞Sn=\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n =______.

2010 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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09解析几何★★★☆☆
已知 F1F_1，F2F_2 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的两个焦点，PP 为椭圆 CC 上一点，且 PF1→⊥PF2→\overrightarrow{PF_1} \perp \overrightarrow{PF_2}，若 △PF1F2\triangle PF_1F_2 的面积为 99，则 b=b =______.

2009 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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09解析几何★★★☆☆
过点 A(1,0)A(1, 0) 作倾斜角为 π4\frac{\pi}{4} 的直线，与抛物线 y2=2xy^2 = 2x 交于 MM，NN 两点，则 ∣MN∣=|MN| =______.

2009 · 上海 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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12解析几何★★★☆☆
已知 F1F_1，F2F_2 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的两个焦点，PP 为椭圆 CC 上一点，且 PF1→⊥PF2→\overrightarrow{PF_1} \perp \overrightarrow{PF_2}. 若 △PF1F2\triangle PF_1F_2 的面积为 99，则 b=b =______.

2009 · 上海 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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