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075分解析几何★★★☆☆
若圆 x2+(y+2)2=r2x^2 + (y+2)^2 = r^2（r>0r>0）上到直线 y=3x+2y = \sqrt{3}x + 2 的距离为1的点有且仅有2个，则 rr 的取值范围是（ ）
A.
(0,1)(0,1)
B.
(1,3)(1,3)
C.
(3,+∞)(3,+\infty)
D.
(0,+∞)(0,+\infty)

2025 · 全国 · 一卷 · 第 7 题 · 选择题

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125分解析几何★★★☆☆
设双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0） 的左右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过 F2F_2 作与 yy 轴平行的直线交该双曲线于 AA，BB 两点. 若 ∣AF1∣=13|AF_1|=13，∣AB∣=10|AB|=10， 则该双曲线的离心率为（ ）.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 填空题

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055分解析几何★★★☆☆
已知椭圆 C:x23+y2=1C:\frac{x^2}{3}+y^2=1 的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，直线 y=x+my=x+m 与 CC 交于 AA，BB 两点，若 △F1AB\triangle F_1AB 的面积是 △F2AB\triangle F_2AB 面积的 22 倍，则 m=m=（ ）
A.
23\dfrac23
B.
23\dfrac{\sqrt2}{3}
C.
−23-\dfrac{\sqrt2}{3}
D.
−23-\dfrac23

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 5 题 · 选择题

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106分解析几何★★★☆☆
设 OO 为坐标原点，直线 y=−3(x−1)y=-\sqrt3(x-1) 过抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0） 的焦点，且与 CC 交于 MM，NN 两点，ll 为 CC 的准线，则（ ）
A.
p=2p=2
B.
∣MN∣=83|MN|=\dfrac83
C.
以 MNMN 为直径的圆与 ll 相切
D.
△OMN\triangle OMN 为等腰三角形

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 10 题 · 多选题

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155分解析几何★★★☆☆
已知直线 x−my+1=0x-my+1=0 与圆 C:(x−1)2+y2=4C:(x-1)^2+y^2=4 交于 AA，BB 两点，写出满足“△ABC\triangle ABC 的面积为 85\frac85”的 mm 的一个值______.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 15 题 · 填空题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为 x=3cos⁡2tx=\sqrt{3}\cos 2t，y=2sin⁡ty=2\sin t（tt 为参数），以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 ll 的极坐标方程为 ρsin⁡(θ+π3)+m=0\rho \sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)+m=0.
(1) 写出 ll 的直角坐标方程； (2) 若 ll 与 C 有公共点，求 mm 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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15解析几何★★★☆☆
过四点 (0,0)(0,0)，(4,0)(4,0)，(−1,1)(-1,1)，(4,2)(4,2) 中任意三点可得的一个圆的方程为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为 x=3cos⁡2tx=\sqrt3\cos2t，y=2sin⁡ty=2\sin t（tt 为参数），以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 ll 的极坐标方程为 ρsin⁡(θ+π3)+m=0\rho\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0.
(1) 写出 ll 的直角坐标方程； (2) 若 ll 与 C 有公共点，求 mm 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，圆 CC 的圆心为 C(2,1)C(2,1)，半径为 11.
(1) 写出圆 CC 的一个参数方程； (2) 过点 F(4,1)F(4,1) 作圆 CC 的两条切线. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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11解析几何★★★☆☆
设 BB 是椭圆 C:x25+y2=1C:\dfrac{x^2}{5}+y^2=1 的上顶点，点 PP 在 CC 上，则 ∣PB∣\lvert PB\rvert 的最大值为（ ）
A.
52\dfrac{5}{2}
B.
6\sqrt6
C.
5\sqrt5
D.
2

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，⊙C\odot C 的圆心为 C(2,1)C(2,1)，半径为 11.
(1) 写出 ⊙C\odot C 的一个参数方程； (2) 过点 F(4,1)F(4,1) 作 ⊙C\odot C 的两条切线. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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11解析几何★★★☆☆
已知 ⊙M:x2+y2−2x−2y−2=0\odot M:x^2+y^2-2x-2y-2=0，直线 l:2x+y+2=0l:2x+y+2=0，PP 为 ll 上的动点. 过点 PP 作 ⊙M\odot M 的切线 PAPA，PBPB，切点为 AA，BB，当 ∣PM∣⋅∣AB∣\left\lvert PM \right\rvert\cdot \left\lvert AB \right\rvert 最小时，直线 ABAB 的方程为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
2x−y−1=02x-y-1=0
B.
2x+y−1=02x+y-1=0
C.
2x−y+1=02x-y+1=0
D.
2x+y+1=02x+y+1=0

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的参数方程为 x=cos⁡ktx=\cos^k t，y=sin⁡kty=\sin^k t（tt 为参数）. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程为 4ρcos⁡θ−16ρsin⁡θ+3=04\rho\cos\theta-16\rho\sin\theta+3=0.
(1) 当 k=1k=1 时，C1C_1 是什么曲线？ (2) 当 k=4k=4 时，求 C1C_1 与 C2C_2 的公共点的直角坐标.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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06解析几何★★★☆☆
已知圆 x2+y2−6x=0x^2+y^2-6x=0，过点 (1,2)(1,2) 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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11解析几何★★★☆☆
设 F1F_1，F2F_2 是双曲线 C:x2−y23=1C:x^2-\dfrac{y^2}{3}=1 的两个焦点，OO 为坐标原点，点 PP 在 CC 上且 ∣OP∣=2\lvert OP\rvert=2，则 △PF1F2\triangle PF_1F_2 的面积为（ ）
A.
72\dfrac{7}{2}
B.
33
C.
52\dfrac{5}{2}
D.
22

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的参数方程为
{x=cos⁡kt,y=sin⁡kt\begin{cases} x=\cos^k t,\\ y=\sin^k t \end{cases}
（tt 为参数）. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程为 4ρcos⁡θ−16ρsin⁡θ+3=04\rho\cos\theta-16\rho\sin\theta+3=0.
(1) 当 k=1k=1 时，C1C_1 是什么曲线？ (2) 当 k=4k=4 时，求 C1C_1 与 C2C_2 的公共点的直角坐标.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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10解析几何★★★☆☆
已知椭圆 CC 的焦点为 F1(−1,0)F_1(-1,0)，F2(1,0)F_2(1,0)，过 F2F_2 的直线与 CC 交于 AA，BB 两点. 若 ∣AF2∣=2∣F2B∣|AF_2|=2|F_2B|，∣AB∣=∣BF1∣|AB|=|BF_1|，则 CC 的方程为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
x22+y2=1\dfrac{x^2}{2}+y^2=1
B.
x23+y22=1\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1
C.
x24+y23=1\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1
D.
x25+y24=1\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{4}=1

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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19解析几何★★★☆☆
已知抛物线 C:y2=3xC:y^2=3x 的焦点为 FF，斜率为 32\dfrac32 的直线 ll 与 CC 的交点为 AA，BB，与 xx 轴的交点为 PP.
(1) 若 ∣AF∣+∣BF∣=4|AF|+|BF|=4，求 ll 的方程； (2) 若 AP→=3PB→\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}，求 ∣AB∣|AB|.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为
{x=1−t21+t2,y=4t1+t2,\left\{\begin{aligned}x&=\dfrac{1-t^2}{1+t^2},\\y&=\dfrac{4t}{1+t^2},\end{aligned}\right.
（tt 为参数）. 以原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 ll 的极坐标方程为 2ρcos⁡θ+3 ρsin⁡θ+11=02\rho\cos\theta+\sqrt3\,\rho\sin\theta+11=0.
(1) 求 CC 的直角坐标方程与 ll 的直角坐标方程； (2) 求 CC 上的点到 ll 的最小距离.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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10解析几何★★★☆☆
双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的一条渐近线的倾斜角为 130∘130^\circ，则 CC 的离心率为（ ）
A.
2sin⁡40∘2\sin 40^\circ
B.
2cos⁡40∘2\cos 40^\circ
C.
1sin⁡50∘\dfrac{1}{\sin 50^\circ}
D.
1cos⁡50∘\dfrac{1}{\cos 50^\circ}

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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20解析几何★★★☆☆
设抛物线 C:y2=2xC:y^2=2x，点 A(2,0)A(2,0)，B(−2,0)B(-2,0)，过点 AA 的直线 ll 与 CC 交于 MM，NN 两点.
(1) 当 ll 与 xx 轴垂直时，求直线 BMBM 的方程； (2) 证明：∠ABM=∠ABN\angle ABM=\angle ABN.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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12解析几何★★★☆☆
在极坐标系中，圆 ρ=8sin⁡θ\rho = 8\sin \theta 上的点到直线 θ=π3\theta = \frac{\pi}{3}（ρ∈R\rho \in \mathbf{R}）距离的最大值是______.
\begin{solution} 由极坐标关系 x=ρcos⁡θx=\rho\cos\theta，y=ρsin⁡θy=\rho\sin\theta，圆的方程化为 ρ2=8ρsin⁡θ\rho^2=8\rho\sin\theta，即 x2+y2=8yx^2+y^2=8y，亦即
x2+(y−4)2=16x^2+(y-4)^2=16
所以圆心为 O1=(0,4)O_1=(0,4)，半径为 44. 由于 ρ∈R\rho\in\mathbf{R}，直线 θ=π3\theta=\frac\pi3 是过原点的整条直线，其方程为 y=3xy=\sqrt3x. 圆心到该直线的距离为
d=∣3⋅0−4∣3+1=2d=\frac{|\sqrt3\cdot0-4|}{\sqrt{3+1}}=2
圆上点到该直线的最大距离等于圆心到直线的距离加半径，故最大值为 2+4=62+4=6. \end{solution}

2015 · 安徽 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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20解析几何★★★☆☆
设椭圆 EE 的方程为 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0），点 OO 为坐标原点. 点 AA 的坐标为 (a,0)(a, 0)，点 BB 的坐标为 (0,b)(0, b)，点 MM 在线段 ABAB 上，满足 ∣BM∣=2∣MA∣|BM| = 2|MA|. 直线 OMOM 的斜率为 510\frac{\sqrt{5}}{10}.
(1) 求 EE 的离心率 ee； (2) 设点 CC 的坐标为 (0,−b)(0, -b)，NN 为线段 ACAC 的中点，点 NN 关于直线 ABAB 的对称点的纵坐标为 72\frac{7}{2}，求 EE 的方程.
\begin{solution} 因为 ∣BM∣=2∣MA∣|BM|=2|MA|，所以 MM 将 ABAB 按 2:12:1 分点，从而
M=(2a3,b3)M=\left(\frac{2a}{3},\frac b3\right)
由直线 OMOM 的斜率， b32a3=b2a=510\frac{\frac{b}{3}}{2\frac{a}{3}}=\frac b{2a}=\frac{\sqrt5}{10}，a2=5b2a^2=5b^2.
\begin{enumerate} \item 椭圆的离心率为
e=a2−b2a=4b2a=2ba=255e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}a=\frac{\sqrt{4b^2}}a=\frac{2b}{a}=\frac{2\sqrt5}{5}
\item 点 NN 为 ACAC 的中点，所以 N=(a2,−b2)N=(\frac a2,-\frac b2). 直线 ABAB 的方程为
bx+ay−ab=0bx+ay-ab=0
设 N′N' 是 NN 关于 ABAB 的对称点. 对直线 Ax+By+C=0Ax+By+C=0，点 (x0,y0)(x_0,y_0) 的对称点纵坐标为 y0−2B(Ax0+By0+C)A2+B2y_0-\frac{2B(Ax_0+By_0+C)}{A^2+B^2}. 在本题中，代入 A=bA=b，B=aB=a，C=−abC=-ab 及 NN，有
bxN+ayN−ab=−abbx_N+ay_N-ab=-ab
因此
yN′=−b2+2a2ba2+b2y_{N'}=-\frac b2+\frac{2a^2b}{a^2+b^2}
利用 a2=5b2a^2=5b^2，得
yN′=−b2+10b36b2=7b6y_{N'}=-\frac b2+\frac{10b^3}{6b^2}=\frac{7b}{6}
由题设 7b6=72\frac{7b}{6}=\frac72，所以 b=3b=3，a=35a=3\sqrt5. 故椭圆方程为
x245+y29=1\frac{x^2}{45}+\frac{y^2}{9}=1
\end{enumerate} \end{solution}

2015 · 安徽 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★☆☆
设椭圆 EE 的方程为 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0），点 OO 为坐标原点，点 AA 的坐标为 (a,0)(a, 0)，点 BB 的坐标为 (0,b)(0, b)，点 MM 在线段 ABAB 上，满足 ∣BM∣=2∣MA∣|BM| = 2|MA|，直线 OMOM 的斜率为 510\frac{\sqrt{5}}{10}.
(1) 求 EE 的离心率 ee； (2) 设点 CC 的坐标为 (0,−b)(0, -b)，NN 为线段 ACAC 的中点，证明：MN⊥ABMN \perp AB.

2015 · 安徽 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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04解析几何★★★☆☆
以平面直角坐标系的原点为极点，xx 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线 ll 的参数方程是
{x=t+1,y=t−3,\begin{cases} x = t + 1,\\ y = t - 3, \end{cases}
（tt 为参数），圆 CC 的极坐标方程是 ρ=4cos⁡θ\rho = 4\cos \theta，则直线 ll 被圆 CC 截得的弦长为（ ）
\begin{solution} 由极坐标方程 ρ=4cos⁡θ\rho=4\cos\theta，得 ρ2=4ρcos⁡θ\rho^{2}=4\rho\cos\theta，即 x2+y2=4xx^{2}+y^{2}=4x，所以圆 CC 的圆心为 (2,0)(2,0)，半径为 22. 由直线的参数方程消去 tt，得 y=x−4y=x-4，即 x−y−4=0x-y-4=0. 圆心到直线的距离为 ∣2−0−4∣2=2\dfrac{|2-0-4|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}，所以弦长为 222−(2)2=222\sqrt{2^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=2\sqrt{2}，故选 D. \end{solution}
A.
14\sqrt{14}
B.
2142 \sqrt{14}
C.
2\sqrt{2}
D.
222\sqrt{2}

2014 · 安徽 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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