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075分解析几何★★★☆☆
若圆 x2+(y+2)2=r2x^2 + (y+2)^2 = r^2（r>0r>0）上到直线 y=3x+2y = \sqrt{3}x + 2 的距离为1的点有且仅有2个，则 rr 的取值范围是（ ）
A.
(0,1)(0,1)
B.
(1,3)(1,3)
C.
(3,+∞)(3,+\infty)
D.
(0,+∞)(0,+\infty)

2025 · 全国 · 一卷 · 第 7 题 · 选择题

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125分解析几何★★★☆☆
设双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0） 的左右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过 F2F_2 作与 yy 轴平行的直线交该双曲线于 AA，BB 两点. 若 ∣AF1∣=13|AF_1|=13，∣AB∣=10|AB|=10， 则该双曲线的离心率为（ ）.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 填空题

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065分解析几何★★★☆☆
过点 (0,−2)(0,-2) 与圆 x2+y2−4x−1=0x^2+y^2-4x-1=0 相切的两直线的夹角为 α\alpha，则 sin⁡α=\sin\alpha=（ ）
A.
11
B.
154\frac{\sqrt{15}}{4}
C.
104\frac{\sqrt{10}}{4}
D.
64\frac{\sqrt6}{4}

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 6 题 · 选择题

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145分解析几何★★★☆☆
写出与圆 x2+y2=1x^2+y^2=1 和 (x−3)2+(y−4)2=16(x-3)^2+(y-4)^2=16 都相切的一条直线的方程______.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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145分解析几何★★★☆☆
已知 OO 为坐标原点，抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0）的焦点为 FF，PP 为 CC 上一点，PFPF 与 xx 轴垂直，QQ 为 xx 轴上一点，且 PQ⊥OPPQ\perp OP，若 ∣FQ∣=6|FQ|=6，则 CC 的准线方程为______.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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135分解析几何★★★☆☆
斜率为 3\sqrt{3} 的直线过抛物线 C:y2=4xC:y^2=4x 的焦点，且与 CC 交于 AA，BB 两点，则 ∣AB∣=‾|AB|=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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10解析几何★★★☆☆
已知椭圆 CC 的焦点为 F1(−1,0)F_1(-1,0)，F2(1,0)F_2(1,0)，过 F2F_2 的直线与 CC 交于 AA，BB 两点. 若 ∣AF2∣=2∣F2B∣|AF_2|=2|F_2B|，∣AB∣=∣BF1∣|AB|=|BF_1|，则 CC 的方程为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
x22+y2=1\dfrac{x^2}{2}+y^2=1
B.
x23+y22=1\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1
C.
x24+y23=1\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1
D.
x25+y24=1\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{4}=1

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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19解析几何★★★☆☆
已知抛物线 C:y2=3xC:y^2=3x 的焦点为 FF，斜率为 32\dfrac32 的直线 ll 与 CC 的交点为 AA，BB，与 xx 轴的交点为 PP.
(1) 若 ∣AF∣+∣BF∣=4|AF|+|BF|=4，求 ll 的方程； (2) 若 AP→=3PB→\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}，求 ∣AB∣|AB|.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为
{x=1−t21+t2,y=4t1+t2,\left\{\begin{aligned}x&=\dfrac{1-t^2}{1+t^2},\\y&=\dfrac{4t}{1+t^2},\end{aligned}\right.
（tt 为参数）. 以原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 ll 的极坐标方程为 2ρcos⁡θ+3 ρsin⁡θ+11=02\rho\cos\theta+\sqrt3\,\rho\sin\theta+11=0.
(1) 求 CC 的直角坐标方程与 ll 的直角坐标方程； (2) 求 CC 上的点到 ll 的最小距离.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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10解析几何★★★☆☆
双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的一条渐近线的倾斜角为 130∘130^\circ，则 CC 的离心率为（ ）
A.
2sin⁡40∘2\sin 40^\circ
B.
2cos⁡40∘2\cos 40^\circ
C.
1sin⁡50∘\dfrac{1}{\sin 50^\circ}
D.
1cos⁡50∘\dfrac{1}{\cos 50^\circ}

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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20解析几何★★★☆☆
设抛物线 C:y2=2xC:y^2=2x，点 A(2,0)A(2,0)，B(−2,0)B(-2,0)，过点 AA 的直线 ll 与 CC 交于 MM，NN 两点.
(1) 当 ll 与 xx 轴垂直时，求直线 BMBM 的方程； (2) 证明：∠ABM=∠ABN\angle ABM=\angle ABN.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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14解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，双曲线 x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的右支与焦点为 FF 的抛物线 x2=2pyx^2=2py（p>0p>0）交于 AA，BB 两点，若 ∣AF∣+∣BF∣=4∣OF∣\lvert AF\rvert+\lvert BF\rvert=4\lvert OF\rvert，则该双曲线的渐近线方程为______.

2017 · 山东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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12不等式★★★☆☆
若直线 xa+yb=1\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1（a>0a>0，b>0b>0）过点 (1,2)(1,2)，则 2a+b2a+b 的最小值为______.

2017 · 山东 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，双曲线 x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的右支与焦点为 FF 的抛物线 x2=2pyx^2=2py（p>0p>0）交于 AA，BB 两点，若 ∣AF∣+∣BF∣=4∣OF∣\lvert AF\rvert+\lvert BF\rvert=4\lvert OF\rvert，则该双曲线的渐近线方程为______.

2017 · 山东 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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13解析几何★★★☆☆
已知双曲线 E ⁣:x2a2−y2b2=1E\colon\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0），若矩形 ABCDABCD 的四个顶点在 EE 上，ABAB，CDCD 的中点为 EE 的两个焦点，且 2∣AB∣=3∣BC∣2|AB|=3|BC|，则 EE 的离心率是______.

2016 · 山东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
在 [−1,1][-1,1] 上随机地取一个数 kk，则事件“直线 y=kxy=kx 与圆 (x−5)2+y2=9(x-5)^2+y^2=9 相交”发生的概率为______.

2016 · 山东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
已知双曲线 E:x2a2−y2b2=1E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）. 矩形 ABCDABCD 的四个顶点在 EE 上，ABAB，CDCD 的中点为 EE 的两个焦点，且 2∣AB∣=3∣BC∣2|AB|=3|BC|，则 EE 的离心率是______.

2016 · 山东 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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09解析几何★★★☆☆
一条光线从点 (−2,−3)(-2,-3) 射出，经 yy 轴反射后与圆 (x+3)2+(y−2)2=1(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 1 相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A.
−53-\frac{5}{3} 或 −35-\frac{3}{5}
B.
−35-\frac{3}{5} 或 −23-\frac{2}{3}
C.
−54-\frac{5}{4} 或 −45-\frac{4}{5}
D.
−43-\frac{4}{3} 或 −34-\frac{3}{4}

2015 · 山东 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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13解析几何★★★☆☆
过点 P(1,3)P(1, \sqrt{3}) 作圆 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 的两条切线，切点分别为 AA，BB，则 PA→⋅PB→=\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} =______.

2015 · 山东 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
过双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 CC 于点 PP. 若点 PP 的横坐标为 2a2a，则 CC 的离心率为______.

2015 · 山东 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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10解析几何★★★☆☆
已知 xx，yy 满足约束条件
{x−y−1⩽0,2x−y−3⩾0,\begin{cases} x - y - 1 \leqslant 0,\\ 2x - y - 3 \geqslant 0, \end{cases}
当目标函数 z=ax+byz = ax + by（a>0a > 0，b>0b > 0）在该约束条件下取到最小值 252\sqrt{5} 时，a2+b2a^2 + b^2 的最小值为（ ）
A.
55
B.
44
C.
5\sqrt{5}
D.
22

2014 · 山东 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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09解析几何★★★☆☆
过点 (3,1)(3,1) 作圆 (x−1)2+y2=1(x - 1)^2 + y^2 = 1 的两条切线，切点分别为 AA，BB，则直线 ABAB 的方程为（ ）
A.
2x+y−3=02x + y - 3 = 0
B.
2x−y−3=02x - y - 3 = 0
C.
4x−y−3=04x - y - 3 = 0
D.
4x+y−3=04x + y - 3 = 0

2013 · 山东 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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11解析几何★★★☆☆
抛物线 C1:y=12px2C_{1}: y = \frac{1}{2p}x^2（p>0p > 0）的焦点与双曲线 C2:x23−y2=1C_{2}: \frac{x^2}{3} - y^2 = 1 的右焦点的连线交 C1C_{1} 于第一象限的点 MM. 若 C1C_{1} 在点 MM 处的切线平行于 C2C_{2} 的一条渐近线，则 p=p =（ ）
A.
316\frac{\sqrt{3}}{16}
B.
38\frac{\sqrt{3}}{8}
C.
233\frac{2\sqrt{3}}{3}
D.
433\frac{4\sqrt{3}}{3}

2013 · 山东 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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11解析几何★★★☆☆
抛物线 C1:y=12px2C_1: y = \frac{1}{2p} x^2（p>0p > 0）的焦点与双曲线 C2:x23−y2=1C_2: \frac{x^2}{3} - y^2 = 1 的右焦点的连线交 C1C_1 于第一象限的点 MM. 若 C1C_1 在点 MM 处的切线平行于 C2C_2 的一条渐近线，则 p=p =（ ）
A.
316\frac{\sqrt{3}}{16}
B.
38\frac{\sqrt{3}}{8}
C.
233\frac{2\sqrt{3}}{3}
D.
433\frac{4\sqrt{3}}{3}

2013 · 山东 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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13解析几何★★★☆☆
过点 (3,1)(3,1) 作圆 (x−2)2+(y−2)2=4(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=4 的弦，其中最短弦的长为______.

2013 · 山东 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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