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096分解析几何★★★☆☆
已知 ⊙O:x2+y2=1\odot O:x^2+y^2=1，⊙A:x2+y2−6x−8y+k=0\odot A:x^2+y^2-6x-8y+k=0，则（ ）
A.
点 AA 的坐标为 (−3,−4)\left( -3,-4 \right)
B.
当 k=9k=9 时，⊙A\odot A 与 xx 轴相切
C.
当 k=−11k=-11 时，⊙O\odot O 与 ⊙A\odot A 相切
D.
当 ⊙O\odot O 与 ⊙A\odot A 相交时，两个交点所在直线的方程为 6x+8y−k−2=06x+8y-k-2=0

2026 · 全国 · 二卷 · 第 9 题 · 多选题

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08解析几何★★★☆☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的离心率为 5\sqrt{5}，CC 的一条渐近线与圆 (x−2)2+(y−3)2=1\left( x-2 \right)^2+\left( y-3 \right)^2=1 交于 AA，BB 两点，则 ∣AB∣=\lvert AB \rvert=（ ）
A.
55\frac{\sqrt{5}}{5}
B.
255\frac{2\sqrt{5}}{5}
C.
355\frac{3\sqrt{5}}{5}
D.
455\frac{4\sqrt{5}}{5}

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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12解析几何★★★☆☆
设 OO 为坐标原点，F1F_1，F2F_2 为椭圆 x29+y26=1\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{6}=1 的两个焦点，点 PP 在该椭圆上，且 cos⁡∠F1PF2=35\cos\angle F_1PF_2=\frac35. 则 ∣OP∣=\lvert OP \rvert=（ ）
A.
135\frac{13}{5}
B.
302\frac{\sqrt{30}}{2}
C.
145\frac{14}{5}
D.
352\frac{\sqrt{35}}{2}

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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22解析几何★★★☆☆
已知点 P(2,1)P(2,1)，直线 ll 的参数方程为 x=2+tcos⁡αx=2+t\cos\alpha，y=1+tsin⁡αy=1+t\sin\alpha（tt 为参数），α\alpha 为 ll 的倾斜角，ll 与 xx 轴正半轴，yy 轴正半轴分别交于 AA，BB 两点，且 ∣PA∣⋅∣PB∣=4\lvert PA \rvert\cdot\lvert PB \rvert=4.
(1) 求 α\alpha； (2) 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 ll 的极坐标方程.

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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07解析几何★★★☆☆
设 F1F_1，F2F_2 为椭圆 C:x25+y2=1C:\dfrac{x^2}{5}+y^2=1 的两个焦点，点 PP 在 CC 上，若 PF1→⋅PF2→=0\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=0，则 ∣PF1∣⋅∣PF2∣=\left|PF_1\right|\cdot\left|PF_2\right|=（ ）
A.
11
B.
22
C.
44
D.
55

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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09解析几何★★★☆☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0） 的离心率为 5\sqrt{5}，其中一条渐近线与圆 (x−2)2+(y−3)2=1\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2=1 交于 AA，BB 两点，则 ∣AB∣=|AB|=（ ）
A.
55\dfrac{\sqrt{5}}{5}
B.
255\dfrac{2\sqrt{5}}{5}
C.
355\dfrac{3\sqrt{5}}{5}
D.
455\dfrac{4\sqrt{5}}{5}

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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22解析几何★★★☆☆
已知点 P(2,1)P(2,1)，直线 ll 的参数方程为
{x=2+tcos⁡α,y=1+tsin⁡α,\begin{cases} x=2+t\cos\alpha,\\ y=1+t\sin\alpha, \end{cases}
（tt 为参数），α\alpha 为 ll 的倾斜角，ll 与 xx 轴正半轴，yy 轴正半轴分别交于 AA，BB，且 ∣PA∣⋅∣PB∣=4|PA|\cdot|PB|=4.
(1) 求 α\alpha； (2) 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 ll 的极坐标方程.

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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10解析几何★★★☆☆
椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左顶点为 AA，点 PP，QQ 均在 CC 上，且关于 yy 轴对称. 若直线 APAP，AQAQ 的斜率之积为 14\frac14，则 CC 的离心率为（ ）
A.
32\dfrac{\sqrt3}{2}
B.
22\dfrac{\sqrt2}{2}
C.
12\dfrac{1}{2}
D.
13\dfrac{1}{3}

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的参数方程为
{x=2+t6y=t\begin{cases} x=\dfrac{2+t}{6}\\ y=\sqrt t \end{cases}
（tt 为参数），曲线 C2C_2 的参数方程为
{x=−2+s6y=−s\begin{cases} x=-\dfrac{2+s}{6}\\ y=-\sqrt s \end{cases}
（ss 为参数）.
(1) 写出 C1C_1 的普通方程； (2) 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C3C_3 的极坐标方程为 2cos⁡θ−sin⁡θ=02\cos\theta-\sin\theta=0，求 C3C_3 与 C1C_1 交点的直角坐标，及 C3C_3 与 C2C_2 交点的直角坐标.

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15解析几何★★★☆☆
记双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的离心率为 ee，写出满足条件“直线 y=2xy=2x 与 CC 无公共点”的 ee 的一个值______.

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的参数方程为 x=2+t6x=\dfrac{2+t}{6}，y=ty=\sqrt{t}（tt 为参数）；曲线 C2C_2 的参数方程为 x=−2+s6x=-\dfrac{2+s}{6}，y=−sy=-\sqrt{s}（ss 为参数）.
(1) 写出 C1C_1 的普通方程； (2) 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C3C_3 的极坐标方程为 2cos⁡θ−sin⁡θ=02\cos\theta-\sin\theta=0，求 C3C_3 与 C1C_1 交点的直角坐标，及 C3C_3 与 C2C_2 交点的直角坐标.

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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05解析几何★★★☆☆
已知 F1F_1，F2F_2 是双曲线 CC 的两个焦点，PP 为 CC 上一点，且 ∠F1PF2=60∘\angle F_1PF_2=60^\circ，PF1=3PF2PF_1=3PF_2，则 CC 的离心率为（ ）
A.
72\dfrac{\sqrt{7}}{2}
B.
132\dfrac{\sqrt{13}}{2}
C.
7\sqrt{7}
D.
13\sqrt{13}

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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15解析几何★★★☆☆
已知 F1F_1，F2F_2 为椭圆 C:x216+y24=1C:\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1 的两个焦点，PP，QQ 为 CC 上关于坐标原点对称的两点，且 PQ=F1F2PQ=F_1F_2，则四边形 PF1QF2PF_1QF_2 的面积为______.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 CC 的极坐标方程为 ρ=22cos⁡θ\rho=2\sqrt{2}\cos \theta.
(1) 将 CC 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 设点 AA 的直角坐标为 (1,0)(1,0)，MM 为 CC 上的动点，点 PP 满足 AP→=2AM→\overrightarrow{AP}=\sqrt{2}\overrightarrow{AM}，写出 PP 的轨迹 C1C_1 的参数方程，并判断 CC 与 C1C_1 是否有公共点.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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16解析几何★★★☆☆
已知 F1F_1，F2F_2 为椭圆 C:x216+y24=1C:\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1 的两个焦点，PP，QQ 为 CC 上关于坐标原点对称的两点，且 ∣PQ∣=∣F1F2∣|PQ|=|F_1F_2|，则四边形 PF1QF2PF_1QF_2 的面积为______.

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 CC 的极坐标方程为 ρ=22cos⁡θ\rho=2\sqrt{2}\cos\theta.
(1) 将 CC 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 设点 AA 的直角坐标为 (1,0)(1,0)，MM 为 CC 上的动点，点 PP 满足 AP→=2AM→\overrightarrow{AP}=\sqrt{2}\overrightarrow{AM}，写出 PP 的轨迹 C1C_1 的参数方程，并判断 CC 与 C1C_1 是否有公共点.

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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10解析几何★★★☆☆
若直线 ll 与曲线 y=xy=\sqrt{x} 和圆 x2+y2=15x^2+y^2=\dfrac{1}{5} 都相切，则 ll 的方程为（ ）
A.
y=2x+1y=2x+1
B.
y=2x+12y=2x+\dfrac{1}{2}
C.
y=12x+1y=\dfrac{1}{2}x+1
D.
y=12x+12y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★★☆☆
设双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，离心率为 5\sqrt{5}. PP 是 CC 上一点，且 F1P⊥F2PF_1P\perp F_2P. 若 △PF1F2\triangle PF_1F_2 的面积为 44，则 a=a=（ ）
A.
11
B.
22
C.
44
D.
88

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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06平面向量★★★☆☆
在平面内，AA，BB 是两个定点，CC 是动点. 若 AC→⋅BC→=1\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=1，则点 CC 的轨迹为（ ）
A.
圆
B.
椭圆
C.
抛物线
D.
直线

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为
{x=2−t−t2,y=2−3t+t2\begin{cases} x=2-t-t^2,\\ y=2-3t+t^2 \end{cases}
（tt 为参数且 t≠1t\neq 1），CC 与坐标轴交于 AA，BB 两点.
(1) 求 ∣AB∣|AB|； (2) 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 ABAB 的极坐标方程.

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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10解析几何★★★☆☆
双曲线 C:x24−y22=1C:\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{2}=1 的右焦点为 FF，点 PP 在 CC 的一条渐近线上，OO 为坐标原点. 若 ∣PO∣=∣PF∣|PO|=|PF|，则 △PFO\triangle PFO 的面积为（ ）
A.
324\dfrac{3\sqrt2}{4}
B.
322\dfrac{3\sqrt2}{2}
C.
222\sqrt2
D.
323\sqrt2

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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15解析几何★★★☆☆
设 F1F_1，F2F_2 为椭圆 C:x236+y220=1C:\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{20}=1 的两个焦点，MM 为 CC 上一点且在第一象限. 若 △MF1F2\triangle MF_1F_2 为等腰三角形，则 MM 的坐标为______.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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22解析几何★★★☆☆
如图，在极坐标系 OxOx 中，A(2,0)A(2,0)，B(2,π4)B(\sqrt2,\dfrac{\pi}{4})，C(2,3π4)C(\sqrt2,\dfrac{3\pi}{4})，D(2,π)D(2,\pi)，弧 AB^\widehat{AB}，BC^\widehat{BC}，CD^\widehat{CD} 所在圆的圆心分别是 (1,0)(1,0)，(1,π2)(1,\dfrac{\pi}{2})，(1,π)(1,\pi)，曲线 M1M_1 是弧 AB^\widehat{AB}，曲线 M2M_2 是弧 BC^\widehat{BC}，曲线 M3M_3 是弧 CD^\widehat{CD}.
(1) 分别写出 M1M_1，M2M_2，M3M_3 的极坐标方程； (2) 曲线 MM 由 M1M_1，M2M_2，M3M_3 构成，若点 PP 在 MM 上，且 ∣OP∣=3|OP|=\sqrt3，求 PP 的极坐标.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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10解析几何★★★☆☆
已知 FF 是双曲线 C:x24−y25=1C:\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{5}=1 的一个焦点，点 PP 在 CC 上，OO 为坐标原点. 若 ∣OP∣=∣OF∣|OP|=|OF|，则 △OPF\triangle OPF 的面积为（ ）
A.
32\dfrac32
B.
52\dfrac52
C.
72\dfrac72
D.
92\dfrac92

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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15解析几何★★★☆☆
设 F1F_1，F2F_2 为椭圆 C:x236+y220=1C:\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{20}=1 的两个焦点，MM 为 CC 上一点且在第一象限. 若 △MF1F2\triangle MF_1F_2 为等腰三角形，则 MM 的坐标为______.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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