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共找到 38 题
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075分解析几何★★★☆☆
若圆 x2+(y+2)2=r2x^2 + (y+2)^2 = r^2（r>0r>0）上到直线 y=3x+2y = \sqrt{3}x + 2 的距离为1的点有且仅有2个，则 rr 的取值范围是（ ）
A.
(0,1)(0,1)
B.
(1,3)(1,3)
C.
(3,+∞)(3,+\infty)
D.
(0,+∞)(0,+\infty)

2025 · 全国 · 一卷 · 第 7 题 · 选择题

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125分解析几何★★★☆☆
设双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0） 的左右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过 F2F_2 作与 yy 轴平行的直线交该双曲线于 AA，BB 两点. 若 ∣AF1∣=13|AF_1|=13，∣AB∣=10|AB|=10， 则该双曲线的离心率为（ ）.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 填空题

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065分解析几何★★★☆☆
过点 (0,−2)(0,-2) 与圆 x2+y2−4x−1=0x^2+y^2-4x-1=0 相切的两直线的夹角为 α\alpha，则 sin⁡α=\sin\alpha=（ ）
A.
11
B.
154\frac{\sqrt{15}}{4}
C.
104\frac{\sqrt{10}}{4}
D.
64\frac{\sqrt6}{4}

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 6 题 · 选择题

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145分解析几何★★★☆☆
写出与圆 x2+y2=1x^2+y^2=1 和 (x−3)2+(y−4)2=16(x-3)^2+(y-4)^2=16 都相切的一条直线的方程______.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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145分解析几何★★★☆☆
已知 OO 为坐标原点，抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0）的焦点为 FF，PP 为 CC 上一点，PFPF 与 xx 轴垂直，QQ 为 xx 轴上一点，且 PQ⊥OPPQ\perp OP，若 ∣FQ∣=6|FQ|=6，则 CC 的准线方程为______.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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11解析几何★★★☆☆
已知 ⊙M:x2+y2−2x−2y−2=0\odot M:x^2+y^2-2x-2y-2=0，直线 l:2x+y+2=0l:2x+y+2=0，PP 为 ll 上的动点. 过点 PP 作 ⊙M\odot M 的切线 PAPA，PBPB，切点为 AA，BB，当 ∣PM∣⋅∣AB∣\left\lvert PM \right\rvert\cdot \left\lvert AB \right\rvert 最小时，直线 ABAB 的方程为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
2x−y−1=02x-y-1=0
B.
2x+y−1=02x+y-1=0
C.
2x−y+1=02x-y+1=0
D.
2x+y+1=02x+y+1=0

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的参数方程为 x=cos⁡ktx=\cos^k t，y=sin⁡kty=\sin^k t（tt 为参数）. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程为 4ρcos⁡θ−16ρsin⁡θ+3=04\rho\cos\theta-16\rho\sin\theta+3=0.
(1) 当 k=1k=1 时，C1C_1 是什么曲线？ (2) 当 k=4k=4 时，求 C1C_1 与 C2C_2 的公共点的直角坐标.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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06解析几何★★★☆☆
已知圆 x2+y2−6x=0x^2+y^2-6x=0，过点 (1,2)(1,2) 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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11解析几何★★★☆☆
设 F1F_1，F2F_2 是双曲线 C:x2−y23=1C:x^2-\dfrac{y^2}{3}=1 的两个焦点，OO 为坐标原点，点 PP 在 CC 上且 ∣OP∣=2\lvert OP\rvert=2，则 △PF1F2\triangle PF_1F_2 的面积为（ ）
A.
72\dfrac{7}{2}
B.
33
C.
52\dfrac{5}{2}
D.
22

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的参数方程为
{x=cos⁡kt,y=sin⁡kt\begin{cases} x=\cos^k t,\\ y=\sin^k t \end{cases}
（tt 为参数）. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程为 4ρcos⁡θ−16ρsin⁡θ+3=04\rho\cos\theta-16\rho\sin\theta+3=0.
(1) 当 k=1k=1 时，C1C_1 是什么曲线？ (2) 当 k=4k=4 时，求 C1C_1 与 C2C_2 的公共点的直角坐标.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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10解析几何★★★☆☆
已知椭圆 CC 的焦点为 F1(−1,0)F_1(-1,0)，F2(1,0)F_2(1,0)，过 F2F_2 的直线与 CC 交于 AA，BB 两点. 若 ∣AF2∣=2∣F2B∣|AF_2|=2|F_2B|，∣AB∣=∣BF1∣|AB|=|BF_1|，则 CC 的方程为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
x22+y2=1\dfrac{x^2}{2}+y^2=1
B.
x23+y22=1\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1
C.
x24+y23=1\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1
D.
x25+y24=1\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{4}=1

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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19解析几何★★★☆☆
已知抛物线 C:y2=3xC:y^2=3x 的焦点为 FF，斜率为 32\dfrac32 的直线 ll 与 CC 的交点为 AA，BB，与 xx 轴的交点为 PP.
(1) 若 ∣AF∣+∣BF∣=4|AF|+|BF|=4，求 ll 的方程； (2) 若 AP→=3PB→\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}，求 ∣AB∣|AB|.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为
{x=1−t21+t2,y=4t1+t2,\left\{\begin{aligned}x&=\dfrac{1-t^2}{1+t^2},\\y&=\dfrac{4t}{1+t^2},\end{aligned}\right.
（tt 为参数）. 以原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 ll 的极坐标方程为 2ρcos⁡θ+3 ρsin⁡θ+11=02\rho\cos\theta+\sqrt3\,\rho\sin\theta+11=0.
(1) 求 CC 的直角坐标方程与 ll 的直角坐标方程； (2) 求 CC 上的点到 ll 的最小距离.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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10解析几何★★★☆☆
双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的一条渐近线的倾斜角为 130∘130^\circ，则 CC 的离心率为（ ）
A.
2sin⁡40∘2\sin 40^\circ
B.
2cos⁡40∘2\cos 40^\circ
C.
1sin⁡50∘\dfrac{1}{\sin 50^\circ}
D.
1cos⁡50∘\dfrac{1}{\cos 50^\circ}

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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20解析几何★★★☆☆
设抛物线 C:y2=2xC:y^2=2x，点 A(2,0)A(2,0)，B(−2,0)B(-2,0)，过点 AA 的直线 ll 与 CC 交于 MM，NN 两点.
(1) 当 ll 与 xx 轴垂直时，求直线 BMBM 的方程； (2) 证明：∠ABM=∠ABN\angle ABM=\angle ABN.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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08平面向量★★★☆☆
已知点 AA，BB，CC 在圆 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 上运动，且 AB⊥BCAB \perp BC. 若点 PP 的坐标为 (2,0)(2,0)，则 ∣PA→+PB→+PC→∣\left|\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}\right| 的最大值为（ ）
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9

2015 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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13解析几何★★★☆☆
设 FF 是双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 的一个焦点. 若 CC 上存在点 PP，使线段 PFPF 的中点恰为其虚轴的一个端点. 则 CC 的离心率为______.

2015 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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16解析几何★★★☆☆
已知直线
l:{x=5+32t,y=3+12t,l: \begin{cases} x = 5 + \frac{\sqrt{3}}{2} t,\\ y = \sqrt{3} + \frac{1}{2} t, \end{cases}
（tt 为参数），以坐标原点为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 CC 的极坐标方程为 ρ=2cos⁡θ\rho = 2\cos \theta.
(1) 将曲线 CC 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 设点 MM 的直角坐标为 (5,3)(5, \sqrt{3})，直线 ll 与曲线 CC 的交点为 AA，BB，求 ∣MA∣⋅∣MB∣|MA|\cdot|MB| 的值.

2015 · 湖南 · 理 · 第 16 题（II） · 解答题

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09平面向量★★★☆☆
已知点 AA，BB，CC 在圆 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 上运动，且 AB⊥BCAB \perp BC. 若点 PP 的坐标为 (2,0)(2,0)，则 ∣PA→+PB→+PC→∣\left|\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}\right| 的最大值为（ ）
A.
66
B.
77
C.
88
D.
99

2015 · 湖南 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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12解析几何★★★☆☆
如图，已知 ABAB，BCBC 是 ⊙O\odot O 的两条弦，AO⊥BCAO \perp BC，AB=3AB = \sqrt{3}，BC=22BC = 2\sqrt{2}，则 ⊙O\odot O 的半径等于______.
\begin{answer} 32\frac{3}{2} \end{answer}
\begin{solution} 设 MM 为弦 BCBC 的中点. 因为圆心到弦的垂线平分弦，所以 AO⊥BCAO\perp BC 使得 AA，OO，MM 共线，且
BM=BC2=2BM=\frac{BC}{2}=\sqrt{2}
在直角三角形 ABMABM 中，
AM2=AB2−BM2=3−2=1AM^2=AB^2-BM^2=3-2=1
所以 AM=1AM=1. 设圆半径为 RR，OM=uOM=u. 在直角三角形 OMBOMB 中，R2=u2+2R^2=u^2+2，从而 R>uR>u. 若 OO 在 AA、MM 之间，则 R+u=1R+u=1；若三点不按此顺序排列，则 R−u=1R-u=1. 结合
R2−u2=2R^2-u^2=2
分别得到 R−u=2R-u=2 或 R+u=2R+u=2，两种情形均有 2R=32R=3. 因而 R=32R=\frac{3}{2}. \end{solution}

2014 · 湖南 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
如图，正方形 ABCDABCD 和正方形 DEFGDEFG 的边长分别为 aa，bb（a<ba < b），原点 OO 为 ADAD 的中点，抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px（p>0p > 0） 经过 CC，FF 两点，则 ba=\frac{b}{a} =______.
\begin{answer} 1+21+\sqrt{2} \end{answer}
\begin{solution} 建立如图所示的直角坐标系，令 ADAD 在 xx 轴上且正方形 ABCDABCD 位于其下方，则 A(−a2,0)A\left(-\frac a2,0\right)，D(a2,0)D\left(\frac a2,0\right)，C(a2,−a)C\left(\frac a2,-a\right)，F(a2+b,b)F\left(\frac a2+b,b\right). 把点 CC 代入抛物线方程，得 a2=2p⋅a2=paa^2=2p\cdot\frac a2=pa，所以 p=ap=a. 再把点 FF 代入，得
b2=2a(a2+b)=a2+2abb^2=2a\left(\frac a2+b\right)=a^2+2ab
令 r=bar=\frac{b}{a}，由 a>0a>0 得 r2=1+2rr^2=1+2r，即 r2−2r−1=0r^2-2r-1=0. 因为 b>ab>a，取正根，故 ba=1+2\frac ba=1+\sqrt2. \end{solution}

2014 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0)F(1,0) 的距离和到直线 x=−1x = -1 的距离相等. 若机器人接触不到过点 P(−1,0)P(-1,0) 且斜率为 kk 的直线，则 kk 的取值范围是______.

2014 · 湖南 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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08解析几何★★★☆☆
在等腰直角三角形 ABCABC 中，AB=AC=4AB = AC = 4，点 PP 是边 ABAB 上异于 AA，BB 的一点，光线从点 PP 出发，经 BCBC，CACA 反射后又回到点 PP （如图）. 若光线 QRQR 经过 △ABC\triangle ABC 的重心，则 APAP 等于（ ）
A.
2
B.
1
C.
83\frac{8}{3}
D.
43\frac{4}{3}

2013 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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14解析几何★★★☆☆
设 F1F_{1}，F2F_{2} 是双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （a>0a > 0，b>0b > 0）的两个焦点，PP 是 CC 上一点，若 ∣PF1∣+∣PF2∣=6a|PF_{1}| + |PF_{2}| = 6a，且 △PF1F2\triangle PF_{1}F_{2} 的最小内角为 30∘30^{\circ}，则 CC 的离心率为______.

2013 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
设 F1F_{1}，F2F_{2} 是双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （a>0a > 0，b>0b > 0）的两个焦点. 若在 CC 上存在一点 PP，使 PF1⊥PF2PF_{1} \perp PF_{2}，且 ∠PF1F2=30∘\angle PF_{1}F_{2} = 30^{\circ}，则 CC 的离心率为______.

2013 · 湖南 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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