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075分解析几何★★★☆☆
若圆 x2+(y+2)2=r2x^2 + (y+2)^2 = r^2（r>0r>0）上到直线 y=3x+2y = \sqrt{3}x + 2 的距离为1的点有且仅有2个，则 rr 的取值范围是（ ）
A.
(0,1)(0,1)
B.
(1,3)(1,3)
C.
(3,+∞)(3,+\infty)
D.
(0,+∞)(0,+\infty)

2025 · 全国 · 一卷 · 第 7 题 · 选择题

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125分解析几何★★★☆☆
设双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0） 的左右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过 F2F_2 作与 yy 轴平行的直线交该双曲线于 AA，BB 两点. 若 ∣AF1∣=13|AF_1|=13，∣AB∣=10|AB|=10， 则该双曲线的离心率为（ ）.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 填空题

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065分解析几何★★★☆☆
过点 (0,−2)(0,-2) 与圆 x2+y2−4x−1=0x^2+y^2-4x-1=0 相切的两直线的夹角为 α\alpha，则 sin⁡α=\sin\alpha=（ ）
A.
11
B.
154\frac{\sqrt{15}}{4}
C.
104\frac{\sqrt{10}}{4}
D.
64\frac{\sqrt6}{4}

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 6 题 · 选择题

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145分解析几何★★★☆☆
写出与圆 x2+y2=1x^2+y^2=1 和 (x−3)2+(y−4)2=16(x-3)^2+(y-4)^2=16 都相切的一条直线的方程______.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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145分解析几何★★★☆☆
已知 OO 为坐标原点，抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0）的焦点为 FF，PP 为 CC 上一点，PFPF 与 xx 轴垂直，QQ 为 xx 轴上一点，且 PQ⊥OPPQ\perp OP，若 ∣FQ∣=6|FQ|=6，则 CC 的准线方程为______.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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11解析几何★★★☆☆
已知 ⊙M:x2+y2−2x−2y−2=0\odot M:x^2+y^2-2x-2y-2=0，直线 l:2x+y+2=0l:2x+y+2=0，PP 为 ll 上的动点. 过点 PP 作 ⊙M\odot M 的切线 PAPA，PBPB，切点为 AA，BB，当 ∣PM∣⋅∣AB∣\left\lvert PM \right\rvert\cdot \left\lvert AB \right\rvert 最小时，直线 ABAB 的方程为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
2x−y−1=02x-y-1=0
B.
2x+y−1=02x+y-1=0
C.
2x−y+1=02x-y+1=0
D.
2x+y+1=02x+y+1=0

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的参数方程为 x=cos⁡ktx=\cos^k t，y=sin⁡kty=\sin^k t（tt 为参数）. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程为 4ρcos⁡θ−16ρsin⁡θ+3=04\rho\cos\theta-16\rho\sin\theta+3=0.
(1) 当 k=1k=1 时，C1C_1 是什么曲线？ (2) 当 k=4k=4 时，求 C1C_1 与 C2C_2 的公共点的直角坐标.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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06解析几何★★★☆☆
已知圆 x2+y2−6x=0x^2+y^2-6x=0，过点 (1,2)(1,2) 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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11解析几何★★★☆☆
设 F1F_1，F2F_2 是双曲线 C:x2−y23=1C:x^2-\dfrac{y^2}{3}=1 的两个焦点，OO 为坐标原点，点 PP 在 CC 上且 ∣OP∣=2\lvert OP\rvert=2，则 △PF1F2\triangle PF_1F_2 的面积为（ ）
A.
72\dfrac{7}{2}
B.
33
C.
52\dfrac{5}{2}
D.
22

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的参数方程为
{x=cos⁡kt,y=sin⁡kt\begin{cases} x=\cos^k t,\\ y=\sin^k t \end{cases}
（tt 为参数）. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程为 4ρcos⁡θ−16ρsin⁡θ+3=04\rho\cos\theta-16\rho\sin\theta+3=0.
(1) 当 k=1k=1 时，C1C_1 是什么曲线？ (2) 当 k=4k=4 时，求 C1C_1 与 C2C_2 的公共点的直角坐标.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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10解析几何★★★☆☆
已知椭圆 CC 的焦点为 F1(−1,0)F_1(-1,0)，F2(1,0)F_2(1,0)，过 F2F_2 的直线与 CC 交于 AA，BB 两点. 若 ∣AF2∣=2∣F2B∣|AF_2|=2|F_2B|，∣AB∣=∣BF1∣|AB|=|BF_1|，则 CC 的方程为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
x22+y2=1\dfrac{x^2}{2}+y^2=1
B.
x23+y22=1\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1
C.
x24+y23=1\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1
D.
x25+y24=1\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{4}=1

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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19解析几何★★★☆☆
已知抛物线 C:y2=3xC:y^2=3x 的焦点为 FF，斜率为 32\dfrac32 的直线 ll 与 CC 的交点为 AA，BB，与 xx 轴的交点为 PP.
(1) 若 ∣AF∣+∣BF∣=4|AF|+|BF|=4，求 ll 的方程； (2) 若 AP→=3PB→\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}，求 ∣AB∣|AB|.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为
{x=1−t21+t2,y=4t1+t2,\left\{\begin{aligned}x&=\dfrac{1-t^2}{1+t^2},\\y&=\dfrac{4t}{1+t^2},\end{aligned}\right.
（tt 为参数）. 以原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 ll 的极坐标方程为 2ρcos⁡θ+3 ρsin⁡θ+11=02\rho\cos\theta+\sqrt3\,\rho\sin\theta+11=0.
(1) 求 CC 的直角坐标方程与 ll 的直角坐标方程； (2) 求 CC 上的点到 ll 的最小距离.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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10解析几何★★★☆☆
双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的一条渐近线的倾斜角为 130∘130^\circ，则 CC 的离心率为（ ）
A.
2sin⁡40∘2\sin 40^\circ
B.
2cos⁡40∘2\cos 40^\circ
C.
1sin⁡50∘\dfrac{1}{\sin 50^\circ}
D.
1cos⁡50∘\dfrac{1}{\cos 50^\circ}

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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20解析几何★★★☆☆
设抛物线 C:y2=2xC:y^2=2x，点 A(2,0)A(2,0)，B(−2,0)B(-2,0)，过点 AA 的直线 ll 与 CC 交于 MM，NN 两点.
(1) 当 ll 与 xx 轴垂直时，求直线 BMBM 的方程； (2) 证明：∠ABM=∠ABN\angle ABM=\angle ABN.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19解析几何★★★☆☆
已知点 FF 为抛物线 E:y2=2pxE: y^{2} = 2px（p>0p > 0） 的焦点，点 A(2,m)A(2, m) 在抛物线 EE 上，且 ∣AF∣=3|AF| = 3.
(1) 求抛物线 EE 的方程； (2) 已知点 G(−1,0)G(-1,0)，延长 AFAF 交抛物线 EE 于点 BB，证明：以点 FF 为圆心且与直线 GAGA 相切的圆，必与直线 GBGB 相切.

2015 · 福建 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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06解析几何★★★☆☆
直线 l:y=kx+1l: y = kx + 1 与圆 O:x2+y2=1O: x^2 + y^2 = 1 相交于 AA，BB 两点，则“k=1k = 1”是“△OAB\triangle OAB 的面积为 12\frac{1}{2}”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分又不必要条件

2014 · 福建 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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14解析几何★★★☆☆
椭圆 Γ:x2a2+y2b2=1\Gamma : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（a>b>0a > b > 0）的左右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，焦距为 2c2c，若直线 y=3(x+c)y = \sqrt{3}(x + c) 与椭圆 Γ\Gamma 的一个交点 MM 满足 ∠MF1F2=2∠MF2F1\angle MF_1F_2 = 2 \angle MF_2F_1，则该椭圆的离心率等于______.

2013 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
椭圆 Γ:x2a2+y2b2=1\Gamma: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，焦距为 2c2c. 若直线 y=3(x+c)y = \sqrt{3}(x + c) 与椭圆 Γ\Gamma 的一个交点 MM 满足 ∠MF1F2=2∠MF2F1\angle MF_1F_2 = 2\angle MF_2F_1，则该椭圆的离心率等于______.
\begin{answer} 3−1\sqrt{3}-1 \end{answer}
\begin{solution} 取左、右焦点分别为 F1=(−c,0)F_1=(-c,0)、F2=(c,0)F_2=(c,0). 直线 y=3(x+c)y=\sqrt3(x+c) 经过 F1F_1，其向右上方的射线与 xx 轴正方向的夹角为 60∘60^\circ. 若点 MM 在该直线的另一条射线上，则 ∠MF1F2=120∘\angle MF_1F_2=120^\circ，由题设得 ∠MF2F1=60∘\angle MF_2F_1=60^\circ，从而三角形在 MM 处的内角为 0∘0^\circ，与三角形非退化矛盾. 因此 MM 在向右上方的射线上，从而
∠MF1F2=60∘\angle MF_1F_2=60^\circ
由题设 ∠MF1F2=2∠MF2F1\angle MF_1F_2=2\angle MF_2F_1，得 ∠MF2F1=30∘\angle MF_2F_1=30^\circ，于是三角形 MF1F2MF_1F_2 在 MM 处为直角三角形. 因为 F1F2=2cF_1F_2=2c，所以由 30∘30^\circ-60∘60^\circ-90∘90^\circ 三角形的边长关系，MF1=cMF_1=c，MF2=3cMF_2=\sqrt3c.
点 MM 在椭圆上，故由椭圆定义
2a=MF1+MF2=(1+3)c2a=MF_1+MF_2=(1+\sqrt3)c
因此离心率
e=ca=21+3=3−1e=\frac ca=\frac{2}{1+\sqrt3}=\sqrt3-1
\end{solution}

2013 · 福建 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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08解析几何★★★☆☆
已知双曲线 x24−y2b2=1\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 的右焦点与抛物线 y2=12xy^{2} = 12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）
A.
5\sqrt{5}
B.
424\sqrt{2}
C.
3
D.
5

2012 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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22解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系中，以坐标原点 OO 为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线 ll 上两点 MM，NN 的极坐标分别为 (2,0)(2,0)，(233,π2)\left(\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{\pi}{2}\right)，圆 CC 的参数方程为
{x=2+2cos⁡θ,y=−3+2sin⁡θ,\begin{cases} x = 2 + 2\cos\theta,\\ y = -\sqrt{3} + 2\sin\theta, \end{cases}
（θ\theta 为参数）.
(1) 设 PP 为线段 MNMN 的中点，求直线 OPOP 的平面直角坐标方程； (2) 判断直线 ll 与圆 CC 的位置关系.

2012 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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07解析几何★★★☆☆
设圆锥曲线 TT 的两个焦点分别为 F1F_{1}，F2F_{2}. 若曲线 TT 上存在点 PP 满足 ∣PF1∣:∣F1F2∣:∣PF2∣=4:3:2|PF_{1}|: |F_{1}F_{2}|: |PF_{2}| = 4:3:2，则曲线 TT 的离心率等于（ ）
A.
12\frac{1}{2} 或 32\frac{3}{2}
B.
23\frac{2}{3} 或 2
C.
12\frac{1}{2} 或 2
D.
23\frac{2}{3} 或 32\frac{3}{2}

2011 · 福建 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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17解析几何★★★☆☆
已知直线 l:y=x+ml:y=x+m，m∈Rm\in\mathbf{R}.
(1) 若以点 M(2,0)M(2,0) 为圆心的圆与直线 ll 相切于点 PP，且点 PP 在 yy 轴上，求该圆的方程； (2) 若直线 ll 关于 xx 轴对称的直线为 l′l'，问直线 l′l' 与抛物线 C:x2=4yC:x^2=4y 是否相切？说明理由.

2011 · 福建 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，直线 ll 的方程为 x−y+4=0x-y+4=0，曲线 CC 的参数方程为
{x=3cos⁡α,y=sin⁡α\begin{cases} x=\sqrt{3}\cos\alpha,\\ y=\sin\alpha \end{cases}
（α\alpha 为参数）.
(1) 已知在极坐标（与直角坐标系 xOyxOy 取相同的长度单位，且以原点 OO 为极点，以 xx 轴正半轴为极轴）中，点 PP 的极坐标为 (4,π2)\left(4,\frac{\pi}{2}\right)，判断点 PP 与直线 ll 的位置关系； (2) 设点 QQ 是曲线 CC 上的一个动点，求它到直线 ll 的距离的最小值.

2011 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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17解析几何★★★☆☆
已知中心在坐标原点 OO 的椭圆 CC 经过点 A(2,3)A(2,3)，且点 F(2,0)F(2,0) 为其右焦点.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 是否存在平行于 OAOA 的直线 ll，使得直线 ll 与椭圆 CC 有公共点，且直线 OAOA 与 ll 的距离等于 44？若存在，求出直线 ll 的方程；若不存在，请说明理由.

2010 · 福建 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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