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08立体几何初步★★★☆☆
从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 60∘60^{\circ} 的共有（ ）
\begin{solution} 正方体的六个面各有两条对角线，共有 1212 条. 按对角线所在面的坐标方向分类，可分为 xyxy、xzxz、yzyz 三类，每类有 44 条. 同一类中两条对角线的方向向量平行或垂直，所成角不是 60∘60^{\circ}. 不同类的两条对角线可分别取方向向量 (±1,±1,0)(\pm1,\pm1,0) 与 (±1,0,±1)(\pm1,0,\pm1) 等，它们的长度均为 2\sqrt{2}，内积的绝对值均为 11，故所成锐角的余弦为 12\dfrac{1}{2}，即为 60∘60^{\circ}. 三类中任取两类共有 C32\mathrm C_3^2 种，每种有 4⋅44\cdot4 对，所以共有 C32⋅4⋅4=48\mathrm C_3^2\cdot4\cdot4=48 对，故选 C. \end{solution}
A.
2424 对
B.
3030 对
C.
4848 对
D.
6060 对

2014 · 安徽 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★★☆☆
设 a≠0a \neq 0，nn 是大于 1 的自然数，(1+xa)n\left(1 + \frac{x}{a}\right)^n 的展开式为 a0+a1x+a2x2+⋯+anxna_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n. 若点 Ai(i,ai)A_i(i, a_i)（i=0i = 0，11，22）的位置如图所示，则 a=‾a =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{solution} 二项式展开式中 ai=Cni1aia_i=\mathrm C_n^i\dfrac{1}{a^i}. 由图中 A0=(0,1)A_0=(0,1)、A1=(1,3)A_1=(1,3)、A2=(2,4)A_2=(2,4)，得 a0=1a_0=1，a1=3a_1=3，a2=4a_2=4. 因而 na=3\dfrac na=3，Cn2a2=4\dfrac{\mathrm C_n^2}{a^2}=4. 由 n=3an=3a 代入第二式，得 n(n−1)2a2=4\dfrac{n(n-1)}{2a^2}=4，即 3a(3a−1)2a2=4\dfrac{3a(3a-1)}{2a^2}=4. 因 a≠0a\neq0，化简得 a2−3a=0a^2-3a=0，所以 a=3a=3. \end{solution}

2014 · 安徽 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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09概率与统计★★★☆☆
从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（ ）
A.
110\frac{1}{10}
B.
18\frac{1}{8}
C.
16\frac{1}{6}
D.
15\frac{1}{5}

2011 · 安徽 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★★☆☆
(xy−yx)6\left(\frac{x}{\sqrt{y}} - \frac{y}{\sqrt{x}}\right)^{6} 的展开式中，x3x^{3} 的系数等于______.

2010 · 安徽 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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10概率与统计★★★☆☆
考察正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）
A.
175\frac{1}{75}
B.
275\frac{2}{75}
C.
375\frac{3}{75}
D.
475\frac{4}{75}

2009 · 安徽 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10概率与统计★★★☆☆
考察正方体 66 个面的中心，从中任意选 33 个点连成三角形，再把剩下的 33 个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于（ ）
A.
11
B.
12\frac{1}{2}
C.
13\frac{1}{3}
D.
00

2009 · 安徽 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★★☆☆
1212 名同学合影，站成前排 44 人后排 88 人，现摄影师要从后排 88 人中抽 22 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）
A.
C82A32\mathrm{C}_8^2\mathrm{A}_3^2
B.
C82A66\mathrm{C}_8^2\mathrm{A}_6^6
C.
C82A62\mathrm{C}_8^2\mathrm{A}_6^2
D.
C82A52\mathrm{C}_8^2\mathrm{A}_5^2

2008 · 安徽 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★★☆☆
1212 名同学合影，站成前排 44 人后排 88 人，现摄影师要从后排 88 人中抽 22 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）
A.
C82A66\mathrm{C}_8^2\mathrm{A}_6^6
B.
C82A32\mathrm{C}_8^2\mathrm{A}_3^2
C.
C82A62\mathrm{C}_8^2\mathrm{A}_6^2
D.
C82A52\mathrm{C}_8^2\mathrm{A}_5^2

2008 · 安徽 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★★☆☆
若 (2x3+1x)n\left(2x^{3} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{n} 的展开式中含有常数项，则最小的正整数 nn 等于______.

2007 · 安徽 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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19概率与统计★★★☆☆
在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有 66 只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有 88 只蝇子：66 只果蝇和 22 只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.
(1) 求笼内恰好剩下 11 只果蝇的概率； (2) 求笼内至少剩下 55 只果蝇的概率.

2007 · 安徽 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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12概率与统计★★★☆☆
在正方体上任选 33 个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（ ）
A.
17\frac{1}{7}
B.
27\frac{2}{7}
C.
37\frac{3}{7}
D.
47\frac{4}{7}

2006 · 安徽 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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18概率与统计★★★☆☆
在添加剂的搭配适用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较，在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂. 现有芳香度分别为 00，11，22，33，44，55 的六种添加剂可供选用. 根据实验设计学原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配实验. 用 ξ\xi 表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和.
(1) 写出 ξ\xi 的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程） (2) 求 ξ\xi 的数学期望 E(ξ)E(\xi).（要求写出计算过程或说明理由）

2006 · 安徽 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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12概率与统计★★★☆☆
在正方体上任选 33 个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（ ）
A.
17\frac{1}{7}
B.
27\frac{2}{7}
C.
37\frac{3}{7}
D.
47\frac{4}{7}

2006 · 安徽 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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