从 $2$ 至 $8$ 的 $7$ 个整数中随机取 $2$ 个不同的数，则这 $2$ 个数互质的概率为（ ）

给定 $k \in \mathbf{N}^*$，设函数 $f: \mathbf{N}^* \to \mathbf{N}^*$ 满足：对于任意大于 $k$ 的正整数 $n$，$f(n) = n - k$.

(1) 设 $k = 1$，则其中一个函数 $f$ 在 $n = 1$ 处的函数值为______； (2) 设 $k = 4$，且当 $n \leqslant 4$ 时，$2 \leqslant f(n) \leqslant 3$，则不同的函数 $f$ 的个数为______.

若规定 $E = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{10}\}$ 的子集 $\{a_{i_{1}}, a_{i_{2}}, \dots, a_{i_{n}}\}$ 为 $E$ 的第 $k$ 个子集，其中 $k = 2^{i_{1} - 1} + 2^{i_{2} - 1} + 2^{i_{3} - 1} + \dots + 2^{i_{n} - 1}$，则

(1) $\{a_1, a_3\}$ 是 $E$ 的第______ 个子集； (2) $E$ 的第211个子集是______.

某市拟从 $4$ 个重点项目和 $6$ 个一般项目中各选 $2$ 个项目作为本年度启动的项目，则重点项目 $A$ 和一般项目 $B$ 至少有一个被选中的不同选法种数是（ ）

\begin{solution} 全部选法共有 $\mathrm C_4^2\mathrm C_6^2=6\times15=90$ 种. 若重点项目 $A$ 和一般项目 $B$ 均未被选，则从其余项目中选取的选法有 $\mathrm C_3^2\mathrm C_5^2=3\times10=30$ 种. 因而至少选中 $A$、$B$ 中一个的选法有 $90-30=60$ 种，故选 C. \end{solution}

过平行六面体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 任意两条棱的中点作直线，其中与平面 $DBB_{1}D_{1}$ 平行的直线共有（ ）

设直线的方程是 $Ax + By = 0$，从 $1$，$2$，$3$，$4$，$5$ 这五个数中每次取两个不同的数作为 $A$，$B$ 的值，则所得不同直线的条数是（ ）

某单位组织 $4$ 个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界 $3$ 个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.

(1) 求 $3$ 个景区都有部门选择的概率； (2) 求恰有 $2$ 个景区有部门选择的概率.

\begin{solution} 每个部门有 $3$ 种选择，且各部门的选择相互独立，所以所有选择的总数为 $3^4$.

\begin{enumerate} \item 若 $3$ 个景区都有部门选择，则一个景区有 $2$ 个部门选择，另外两个景区各有 $1$ 个部门选择. 先选出有 $2$ 个部门的景区，有 $3$ 种；再从 $4$ 个部门中选出这 $2$ 个部门，有 $\mathrm C_4^2$ 种；剩下的两个部门分别选择另外两个景区，有 $2$ 种. 因而所求概率为 \item 若恰有 $2$ 个景区有部门选择，先选出这 $2$ 个景区，有 $\mathrm C_3^2$ 种. 对固定的两个景区，所有部门在其中选择共有 $2^4$ 种，其中全部选择第一个或全部选择第二个的情形各有 $1$ 种，故恰好使用两个景区有 $2^4-2$ 种. 因而所求概率为 \end{enumerate} \end{solution}

从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ）

若 $\left(x^{3}+\frac{1}{x\sqrt{x}}\right)^n$ 展开式中的常数项为 84，则 $n=$______.

从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（$\quad$）